Номер 180, страница 132 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного горизонтально - номер 180, страница 132.

Условие.

180. С вертолета, летящего горизонтально на высоте 125 м со скоростью $72 \text{ км/ч}$, сбросили груз. На какой высоте его скорость будет направлена под углом $45^{\circ}$ к горизонту?

Решение.

Дано:

$H = 125 \text{ м}$

$v_0 = 72 \text{ км/ч}$

$\alpha = 45^\circ$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Перевод в систему СИ:

Скорость вертолета: $v_0 = 72 \text{ км/ч} = 72 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 20 \text{ м/с}$.

Найти:

$\text{h}$ — высота, на которой скорость груза будет направлена под углом $45^\circ$ к горизонту.

Решение:

Движение брошенного груза можно разложить на два независимых движения: равномерное движение по горизонтали и равноускоренное движение (свободное падение) по вертикали. Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Начальная скорость груза равна скорости вертолета. Так как вертолет летит горизонтально, начальная скорость груза имеет только горизонтальную составляющую:

$v_{0x} = v_0 = 20 \text{ м/с}$

Начальная вертикальная составляющая скорости равна нулю:

$v_{0y} = 0$

В любой момент времени $\text{t}$ после броска горизонтальная составляющая скорости груза остается постоянной, так как нет горизонтальных сил:

$v_x(t) = v_{0x} = 20 \text{ м/с}$

Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием силы тяжести:

$v_y(t) = v_{0y} + gt = gt$

Вектор полной скорости $\vec{v}$ направлен под углом $\alpha$ к горизонту. Тангенс этого угла равен отношению вертикальной составляющей скорости к горизонтальной:

$\tan(\alpha) = \frac{v_y}{v_x}$

По условию задачи, угол $\alpha = 45^\circ$. Тангенс угла $45^\circ$ равен 1:

$\tan(45^\circ) = 1$

Следовательно, в искомый момент времени вертикальная и горизонтальная составляющие скорости должны быть равны по модулю:

$v_y = v_x = 20 \text{ м/с}$

Теперь найдем, какое расстояние по вертикали $\Delta H$ пролетит груз, чтобы его вертикальная скорость достигла значения $v_y = 20 \text{ м/с}$. Воспользуемся формулой, связывающей скорость и перемещение при равноускоренном движении без начальной вертикальной скорости:

$\Delta H = \frac{v_y^2 - v_{0y}^2}{2g} = \frac{v_y^2}{2g}$

Подставим известные значения:

$\Delta H = \frac{(20 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{400 \text{ м}^2/\text{с}^2}{20 \text{ м/с}^2} = 20 \text{ м}$

Это расстояние, на которое груз снизился от начальной высоты $\text{H}$. Искомая высота $\text{h}$ будет равна разности начальной высоты и пройденного по вертикали пути $\Delta H$:

$h = H - \Delta H$

$h = 125 \text{ м} - 20 \text{ м} = 105 \text{ м}$

Ответ: 105 м.