Номер 170, страница 131 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного горизонтально - номер 170, страница 131.

Условие.

170. Какую минимальную скорость должен иметь мяч, брошенный горизонтально с высоты 8 м, чтобы перелететь через препятствие высотой 3 м, расположенное на расстоянии 10 м по горизонтали от точки бросания?

Решение.

Дано:

Начальная высота броска, $H = 8 \text{ м}$

Высота препятствия, $h = 3 \text{ м}$

Горизонтальное расстояние до препятствия, $L = 10 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$v_{0, \text{min}}$ — минимальная начальная скорость мяча.

Решение:

Движение мяча, брошенного горизонтально, можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали (свободное падение без начальной вертикальной скорости).

Введем систему координат. Начало координат $(0,0)$ расположим в точке бросания. Ось $OX$ направим горизонтально по направлению броска, а ось $OY$ — вертикально вниз. В этом случае начальные условия будут следующими: $x_0 = 0, y_0 = 0, v_{0x} = v_0, v_{0y} = 0$.

Тогда уравнения движения для координат мяча в зависимости от времени $\text{t}$ примут вид:

Движение по оси $OX$: $x(t) = v_0 t$

Движение по оси $OY$: $y(t) = \frac{gt^2}{2}$

Здесь $y(t)$ — это вертикальное смещение (глубина падения) мяча относительно начального уровня.

Минимальная скорость $v_{0, \text{min}}$ соответствует траектории, при которой мяч пролетает точно над верхней точкой препятствия. Это означает, что в тот момент, когда мяч по горизонтали преодолеет расстояние $\text{L}$, его снижение по вертикали $y(t)$ должно быть равно разности начальной высоты и высоты препятствия.

Найдем необходимое вертикальное смещение мяча:

$\Delta y = H - h = 8 \text{ м} - 3 \text{ м} = 5 \text{ м}$

Теперь найдем время $t_L$, за которое мяч пролетит горизонтальное расстояние $\text{L}$ до препятствия. Из уравнения для $x(t)$:

$L = v_0 t_L \implies t_L = \frac{L}{v_0}$

За это время $t_L$ мяч должен снизиться на высоту $\Delta y$. Подставим $t_L$ и $\Delta y$ в уравнение для $y(t)$:

$\Delta y = \frac{g t_L^2}{2} = \frac{g}{2} \left(\frac{L}{v_0}\right)^2$

Теперь выразим из этого уравнения искомую минимальную скорость $v_0$ (которая и будет $v_{0, \text{min}}$):

$v_0^2 = \frac{g L^2}{2 \Delta y} = \frac{g L^2}{2 (H - h)}$

$v_0 = \sqrt{\frac{g L^2}{2 (H - h)}} = L \sqrt{\frac{g}{2(H - h)}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$v_{0, \text{min}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{10}{2(8 - 3)}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{10}{2 \cdot 5}} = 10 \cdot \sqrt{\frac{10}{10}} = 10 \cdot \sqrt{1} = 10 \text{ м/с}$

Ответ: минимальная скорость, которую должен иметь мяч, составляет $10 \text{ м/с}$.