Номер 206, страница 135 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 206, страница 135.

Условие.

206. Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи воды под углами $60^\circ$ и $45^\circ$ к горизонту. На каком расстоянии по горизонтали струи пересекутся, если их начальные скорости $5 \text{ м/с}$?

Решение.

Дано:

Угол первой струи: $\alpha_1 = 60^\circ$
Угол второй струи: $\alpha_2 = 45^\circ$
Начальная скорость струй: $v_0 = 5$ м/с
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Горизонтальное расстояние до точки пересечения струй $\text{x}$.

Решение:

Движение каждой струи воды можно описать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Траектория такого движения в системе координат, где ось $\text{X}$ направлена горизонтально, а ось $\text{Y}$ — вертикально вверх, описывается уравнением:
$y(x) = x \cdot \tan\alpha - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha}$
где $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол броска к горизонту, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.
Запишем уравнения траекторий для каждой из двух струй.
Для первой струи с углом $\alpha_1 = 60^\circ$:
$y_1(x) = x \cdot \tan\alpha_1 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha_1}$
Для второй струи с углом $\alpha_2 = 45^\circ$:
$y_2(x) = x \cdot \tan\alpha_2 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha_2}$
Струи пересекутся в точке, где их координаты $(x, y)$ совпадут. Одно из решений — точка вылета $(0, 0)$. Нас интересует вторая точка пересечения, где $x > 0$. Для нахождения этой точки приравняем уравнения траекторий $y_1(x) = y_2(x)$:
$x \cdot \tan\alpha_1 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha_1} = x \cdot \tan\alpha_2 - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha_2}$
Перенесем члены с $\text{x}$ в одну сторону, а с $x^2$ — в другую:
$x \cdot \tan\alpha_1 - x \cdot \tan\alpha_2 = \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha_1} - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2\alpha_2}$
Вынесем общие множители за скобки:
$x (\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2) = \frac{g x^2}{2 v_0^2} \left( \frac{1}{\cos^2\alpha_1} - \frac{1}{\cos^2\alpha_2} \right)$
Так как мы ищем точку пересечения, отличную от начальной, $x \neq 0$, можно разделить обе части уравнения на $\text{x}$:
$\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2 = \frac{g x}{2 v_0^2} \left( \frac{1}{\cos^2\alpha_1} - \frac{1}{\cos^2\alpha_2} \right)$
Используем тригонометрическое тождество $\frac{1}{\cos^2\alpha} = 1 + \tan^2\alpha$. Выражение в скобках преобразуется:
$\frac{1}{\cos^2\alpha_1} - \frac{1}{\cos^2\alpha_2} = (1 + \tan^2\alpha_1) - (1 + \tan^2\alpha_2) = \tan^2\alpha_1 - \tan^2\alpha_2$
Подставим это в наше уравнение:
$\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2 = \frac{g x}{2 v_0^2} (\tan^2\alpha_1 - \tan^2\alpha_2)$
Разложим разность квадратов $\tan^2\alpha_1 - \tan^2\alpha_2 = (\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2)(\tan\alpha_1 + \tan\alpha_2)$:
$\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2 = \frac{g x}{2 v_0^2} (\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2)(\tan\alpha_1 + \tan\alpha_2)$
Поскольку углы $\alpha_1$ и $\alpha_2$ различны, $\tan\alpha_1 \neq \tan\alpha_2$, и можно сократить на $(\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2)$:
$1 = \frac{g x}{2 v_0^2} (\tan\alpha_1 + \tan\alpha_2)$
Выразим из этого уравнения искомое расстояние $\text{x}$:
$x = \frac{2 v_0^2}{g (\tan\alpha_1 + \tan\alpha_2)}$
Подставим числовые значения из условия задачи:
$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$
$\tan 45^\circ = 1$
$v_0 = 5$ м/с
$g \approx 9.8$ м/с$^2$
$x = \frac{2 \cdot (5)^2}{9.8 \cdot (\sqrt{3} + 1)} = \frac{2 \cdot 25}{9.8 \cdot (\sqrt{3} + 1)} = \frac{50}{9.8 \cdot (1.732 + 1)}$
$x = \frac{50}{9.8 \cdot 2.732} \approx \frac{50}{26.77} \approx 1.87$ м.

Ответ: струи пересекутся на расстоянии примерно 1,87 м по горизонтали от отверстия шланга.