Номер 208, страница 135 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 208, страница 135.

Условие.

208. Маленький шарик падает сверху на наклонную плоскость и упруго отражается от нее. Найдите угол между направлением движения шарика и наклонной плоскостью непосредственно перед вторым ударом шарика о плоскость. Угол наклона плоскости к горизонту равен $30^\circ$. Скорость шарика в момент первого удара направлена вертикально вниз и равна $1 \text{ м/с}$.

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости к горизонту, $\alpha = 30^\circ$.
Скорость шарика в момент первого удара, $v_0 = 1$ м/с.
Направление скорости $\vec{v}_0$ — вертикально вниз.
Удар — упругий.

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:

Угол $\beta$ между направлением движения шарика и наклонной плоскостью непосредственно перед вторым ударом.

Решение:

Введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью. Ось $Ox$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ — перпендикулярно плоскости вверх. Начало координат поместим в точку первого удара шарика о плоскость.

Скорость шарика $\vec{v}_0$ непосредственно перед первым ударом направлена вертикально вниз. Разложим вектор скорости $\vec{v}_0$ на компоненты в выбранной системе координат. Угол между вертикалью и нормалью к плоскости (осью $Oy$) равен $\alpha$. Следовательно, проекции скорости $\vec{v}_0$ на оси $Ox$ и $Oy$ непосредственно перед ударом равны:

$v_{0x} = v_0 \sin\alpha$

$v_{0y} = -v_0 \cos\alpha$

Поскольку удар упругий, компонента скорости, параллельная плоскости ($v_{0x}$), не изменяется, а компонента, перпендикулярная плоскости ($v_{0y}$), меняет свой знак на противоположный. Скорость шарика $\vec{v}_1$ сразу после первого удара имеет компоненты:

$v_{1x} = v_0 \sin\alpha$

$v_{1y} = v_0 \cos\alpha$

Между первым и вторым ударами шарик движется как тело, брошенное под углом, в поле силы тяжести. Ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вертикально вниз. Его проекции на оси выбранной системы координат:

$g_x = g \sin\alpha$

$g_y = -g \cos\alpha$

Движение шарика вдоль оси $Oy$ описывается уравнением: $y(t) = v_{1y} t + \frac{g_y t^2}{2}$. Второй удар произойдет, когда шарик вернется на плоскость, то есть при $y(T) = 0$, где $\text{T}$ - время полета между ударами. Решим уравнение:

$(v_0 \cos\alpha) T - \frac{(g \cos\alpha) T^2}{2} = 0$

Так как $T > 0$, находим время полета:

$T = \frac{2 v_0 \cos\alpha}{g \cos\alpha} = \frac{2 v_0}{g}$

Теперь найдем компоненты скорости $\vec{v}_2$ непосредственно перед вторым ударом, то есть в момент времени $\text{T}$.

Проекция на ось $Ox$:

$v_{2x} = v_{1x} + g_x T = v_0 \sin\alpha + (g \sin\alpha) \cdot \frac{2 v_0}{g} = v_0 \sin\alpha + 2 v_0 \sin\alpha = 3 v_0 \sin\alpha$

Проекция на ось $Oy$:

$v_{2y} = v_{1y} + g_y T = v_0 \cos\alpha - (g \cos\alpha) \cdot \frac{2 v_0}{g} = v_0 \cos\alpha - 2 v_0 \cos\alpha = -v_0 \cos\alpha$

Искомый угол $\beta$ между вектором скорости $\vec{v}_2$ и наклонной плоскостью (осью $Ox$) можно найти через тангенс, как отношение модулей перпендикулярной и параллельной компонент скорости:

$\tan\beta = \frac{|v_{2y}|}{|v_{2x}|} = \frac{|-v_0 \cos\alpha|}{|3 v_0 \sin\alpha|} = \frac{v_0 \cos\alpha}{3 v_0 \sin\alpha} = \frac{1}{3 \tan\alpha}$

Подставим значение угла $\alpha = 30^\circ$:

$\tan\beta = \frac{1}{3 \tan(30^\circ)} = \frac{1}{3 \cdot (1/\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Отсюда находим угол $\beta$:

$\beta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30^\circ$

Ответ: $30^\circ$.