Номер 202, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 202, страница 134.

Условие.

202. Шарик, брошенный с поверхности земли со скоростью $12 \text{ м/с}$ под углом $45^\circ$ к горизонту, упал на землю на некотором расстоянии от места бросания. С какой высоты над первоначальной точкой бросания надо бросить шарик в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место?

Решение.

Дано:

$v_0 = 12$ м/с (начальная скорость)

$\alpha = 45^\circ$ (угол броска к горизонту)

$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{h}$ — высота, с которой нужно бросить шарик горизонтально.

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа. Сначала мы определим дальность полета шарика, брошенного под углом к горизонту. Затем, используя эту дальность, мы вычислим искомую высоту для горизонтального броска.

Этап 1: Определение дальности полета при броске под углом.

Дальность полета $\text{L}$ тела, брошенного с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту, вычисляется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Подставим в формулу заданные значения:

$L = \frac{(12 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 45^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{144 \text{ м}^2/\text{с}^2 \cdot \sin(90^\circ)}{9.8 \text{ м/с}^2}$

Поскольку $\sin(90^\circ) = 1$, дальность полета равна:

$L = \frac{144}{9.8} \text{ м} \approx 14.69 \text{ м}$

Этап 2: Определение высоты для горизонтального броска.

Теперь рассмотрим второй случай: шарик бросают горизонтально с высоты $\text{h}$ с той же начальной скоростью $v_0$. Он должен пролететь по горизонтали то же расстояние $\text{L}$.

Движение шарика можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного (свободного падения) по вертикали.

Время полета $\text{t}$ можно найти из уравнения для горизонтального движения:

$L = v_0 \cdot t$

Отсюда выражаем время:

$t = \frac{L}{v_0}$

За это время шарик падает с высоты $\text{h}$. Высота падения при свободном падении без начальной вертикальной скорости определяется формулой:

$h = \frac{gt^2}{2}$

Подставим в эту формулу выражение для времени $\text{t}$, которое мы нашли ранее:

$h = \frac{g}{2} \left( \frac{L}{v_0} \right)^2$

Теперь подставим в это уравнение найденное значение дальности $L = \frac{144}{9.8}$ м и начальную скорость $v_0 = 12$ м/с:

$h = \frac{9.8 \text{ м/с}^2}{2} \left( \frac{\frac{144}{9.8} \text{ м}}{12 \text{ м/с}} \right)^2 = 4.9 \text{ м/с}^2 \cdot \left( \frac{144}{9.8 \cdot 12} \frac{\text{м} \cdot \text{с}}{\text{м}} \right)^2 = 4.9 \text{ м/с}^2 \cdot \left( \frac{12}{9.8} \text{ с} \right)^2$

$h = 4.9 \cdot \frac{12^2}{9.8^2} \text{ м} = 4.9 \cdot \frac{144}{96.04} \text{ м} = \frac{705.6}{96.04} \text{ м} \approx 7.35 \text{ м}$

Можно было прийти к результату проще. Для случая $\alpha=45^\circ$ дальность полета $L = \frac{v_0^2}{g}$. Тогда время полета при горизонтальном броске $t = \frac{L}{v_0} = \frac{v_0^2/g}{v_0} = \frac{v_0}{g}$. Искомая высота $h = \frac{gt^2}{2} = \frac{g}{2}\left(\frac{v_0}{g}\right)^2 = \frac{g v_0^2}{2 g^2} = \frac{v_0^2}{2g}$.

Вычислим по этой формуле:

$h = \frac{(12 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{144}{19.6} \text{ м} \approx 7.35 \text{ м}$

Ответ: шарик надо бросить с высоты примерно 7.35 м.