Номер 195, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 195, страница 134.

Условие.

195. Тело, брошенное под углом к горизонту, имеет дальность полета 40 м и максимальную высоту подъема 10 м. Под каким углом к горизонту было брошено тело?

Решение.

Дано

Дальность полета: $L = 40$ м

Максимальная высота подъема: $H = 10$ м

Найти:

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Решение

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления воздуха описывается известными кинематическими формулами. Дальность полета $\text{L}$ и максимальная высота подъема $\text{H}$ связаны с начальной скоростью $v_0$ и углом броска $\alpha$ следующими соотношениями:

Максимальная высота подъема:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}$

Дальность полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Для нахождения угла $\alpha$ необходимо исключить из уравнений неизвестную начальную скорость $v_0$. Удобнее всего это сделать, разделив одно уравнение на другое. Предварительно преобразуем формулу для дальности полета, используя тригонометрическую формулу двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)$:

$L = \frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$

Теперь разделим выражение для высоты $\text{H}$ на выражение для дальности $\text{L}$:

$\frac{H}{L} = \frac{\frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}}{\frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}}$

Сократим одинаковые множители ($v_0^2$, $\text{g}$ и $\sin(\alpha)$) в числителе и знаменателе:

$\frac{H}{L} = \frac{\sin(\alpha)}{2} \cdot \frac{1}{2 \cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{4 \cos(\alpha)}$

Зная, что отношение $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ есть тангенс угла $\tan(\alpha)$, получаем простое соотношение:

$\frac{H}{L} = \frac{\tan(\alpha)}{4}$

Из этого соотношения выразим $\tan(\alpha)$:

$\tan(\alpha) = 4 \frac{H}{L}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\tan(\alpha) = 4 \cdot \frac{10 \text{ м}}{40 \text{ м}} = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

Угол, тангенс которого равен единице, это $45^\circ$.

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: тело было брошено под углом $45^\circ$ к горизонту.