Номер 197, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 197, страница 134.

Условие.

197. Два тела брошены с поверхности земли под углами $60^\circ$ и $30^\circ$ к горизонту. Определите отношение начальных скоростей, если известно, что тела упали на землю в одном и том же месте.

Решение.

Дано:

Угол броска первого тела, $\alpha_1 = 60°$

Угол броска второго тела, $\alpha_2 = 30°$

Дальность полета тел одинакова, $L_1 = L_2$

Найти:

Отношение начальных скоростей, $\frac{v_{01}}{v_{02}}$

Решение:

Дальность полета тела, брошенного с поверхности земли под углом к горизонту, определяется по формуле:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

где $v_0$ — начальная скорость, $\alpha$ — угол броска, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Запишем формулу дальности полета для первого и второго тела:

$L_1 = \frac{v_{01}^2 \sin(2\alpha_1)}{g}$

$L_2 = \frac{v_{02}^2 \sin(2\alpha_2)}{g}$

По условию задачи, тела упали в одном и том же месте, следовательно, их дальности полета равны: $L_1 = L_2$.

Приравняем правые части выражений для $L_1$ и $L_2$:

$\frac{v_{01}^2 \sin(2\alpha_1)}{g} = \frac{v_{02}^2 \sin(2\alpha_2)}{g}$

Сократим ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$v_{01}^2 \sin(2\alpha_1) = v_{02}^2 \sin(2\alpha_2)$

Отсюда найдем отношение квадратов начальных скоростей:

$\frac{v_{01}^2}{v_{02}^2} = \frac{\sin(2\alpha_2)}{\sin(2\alpha_1)}$

Чтобы найти искомое отношение скоростей, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{v_{01}}{v_{02}} = \sqrt{\frac{\sin(2\alpha_2)}{\sin(2\alpha_1)}}$

Подставим в полученную формулу значения углов $\alpha_1 = 60°$ и $\alpha_2 = 30°$:

$\frac{v_{01}}{v_{02}} = \sqrt{\frac{\sin(2 \cdot 30°)}{\sin(2 \cdot 60°)}} = \sqrt{\frac{\sin(60°)}{\sin(120°)}}$

Из тригонометрии известно, что $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°)$.

Подставим это значение в наше выражение:

$\frac{v_{01}}{v_{02}} = \sqrt{\frac{\sin(60°)}{\sin(60°)}} = \sqrt{1} = 1$

Ответ: отношение начальных скоростей равно 1.