Номер 204, страница 135 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 204, страница 135.

Условие.

204. Из шланга под углом $30^\circ$ к горизонту бьет струя воды с начальной скоростью $15 \text{ м/с}$. Площадь сечения шланга $1 \text{ см}^2$. Определите массу воды в струе, находящуюся в воздухе.

Решение.

Дано:

Угол к горизонту, $\alpha = 30°$

Начальная скорость, $v_0 = 15$ м/с

Площадь сечения, $S = 1$ см²

Плотность воды, $\\rho\approx 1000$ кг/м³

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Перевод в систему СИ:

$S = 1 \text{ см}^2 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10^{-4}$ м²

Найти:

$\text{m}$ — масса воды в струе, находящаяся в воздухе.

Решение:

Масса воды, которая в любой момент времени находится в воздухе, равна массе воды, вытекающей из шланга за время, равное времени полета одной частицы воды. Время полета — это промежуток времени от вылета частицы из шланга до ее падения на тот же горизонтальный уровень.

Сначала определим время полета $\text{t}$ частицы воды. Движение частицы можно рассматривать как движение тела, брошенного под углом к горизонту. Время полета зависит от вертикальной составляющей начальной скорости $v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$. Уравнение для вертикальной координаты $\text{y}$ имеет вид:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

В конце полета частица возвращается на начальную высоту, то есть $y(t) = 0$.

$(v_0 \sin(\alpha))t - \frac{gt^2}{2} = 0$

$t(v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt}{2}) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $t = 0$ (момент вылета) и искомое время полета:

$t = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}$

За это время из шланга вытечет определенная масса воды. Массовый расход воды $Q_m$ (масса, вытекающая в секунду) равен произведению плотности $\rho$, площади сечения $\text{S}$ и скорости $v_0$:

$Q_m = \\rho\cdot S \cdot v_0$

Тогда общая масса воды $\text{m}$ в струе, находящейся в воздухе, будет равна произведению массового расхода на время полета:

$m = Q_m \cdot t = (\\rhoS v_0) \cdot \left(\frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g}\right) = \frac{2 \\rhoS v_0^2 \sin(\alpha)}{g}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 \cdot (15 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(30°)}{9.8 \text{ м/с}^2}$

Учитывая, что $\sin(30°) = 0.5$, получаем:

$m = \frac{2 \cdot 1000 \cdot 10^{-4} \cdot 225 \cdot 0.5}{9.8} = \frac{1000 \cdot 10^{-4} \cdot 225}{9.8} = \frac{0.1 \cdot 225}{9.8} = \frac{22.5}{9.8} \approx 2.296 \text{ кг}$

Округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: $2.3$ кг.