Номер 201, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 201, страница 134.

Условие.

201. Камень бросили с балкона высотой 30 м со скоростью 20 м/с под углом 30° к горизонту. Через какое время камень упадет на землю?

Решение.

Дано:

Высота балкона $h_0 = 30$ м

Начальная скорость $v_0 = 20$ м/с

Угол броска к горизонту $\alpha = 30°$

Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с²

Найти:

Время полета камня $\text{t}$ — ?

Решение:

Для решения задачи выберем систему координат. Начало координат (0,0) расположим на поверхности земли прямо под точкой броска. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX – горизонтально в направлении полета камня.

В этой системе координат начальная высота камня $y_0 = h_0 = 30$ м.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали (ось OX) и равноускоренное по вертикали (ось OY) с ускорением $a_y = -g$.

Найдем проекцию начальной скорости на вертикальную ось OY:

$v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения:

$v_{0y} = 20 \cdot \sin(30°) = 20 \cdot 0.5 = 10$ м/с.

Запишем уравнение зависимости вертикальной координаты камня от времени:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

Подставив наши значения ($y_0 = h_0$, $v_{0y}$, $a_y = -g$), получим:

$y(t) = h_0 + (v_0 \sin(\alpha))t - \frac{g t^2}{2}$

Камень упадет на землю в тот момент времени $\text{t}$, когда его вертикальная координата $y(t)$ станет равна нулю. Подставим $y(t) = 0$ и известные числовые значения в уравнение:

$0 = 30 + 10 \cdot t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

$0 = 30 + 10t - 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение относительно времени $\text{t}$. Перепишем его в стандартном виде $at^2+bt+c=0$:

$5t^2 - 10t - 30 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 5:

$t^2 - 2t - 6 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28$.

$t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 1 \pm \sqrt{7}$

Уравнение имеет два корня:

$t_1 = 1 + \sqrt{7}$

$t_2 = 1 - \sqrt{7}$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = 1 - \sqrt{7} \approx 1 - 2.65 = -1.65$ с не имеет физического смысла.

Следовательно, время полета камня определяется положительным корнем:

$t = 1 + \sqrt{7} \approx 1 + 2.65 = 3.65$ с.

Ответ: время падения камня на землю составит приблизительно 3.65 с.