Номер 194, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 194, страница 134.

Условие.

194. Камень был брошен под углом $45^\circ$ к горизон-ту с высоты 2,1 м и упал на расстоянии 42 м от местабросания по горизонтали. Какова начальная скоростькамня?

Решение.

Дано:

Угол броска к горизонту, $\alpha = 45^\circ$

Начальная высота, $h = 2,1$ м

Дальность полета по горизонтали, $L = 42$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Найти:

Начальную скорость камня, $v_0$

Решение:

Движение камня представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту, из точки, находящейся на некоторой высоте над землей. Разложим движение на две составляющие: равномерное движение по горизонтальной оси X и равноускоренное движение по вертикальной оси Y.

Выберем систему координат, в которой начало отсчета $(0,0)$ находится на земле прямо под точкой броска. Ось X направлена горизонтально, а ось Y — вертикально вверх. В этой системе начальные координаты камня равны $x_0 = 0$ и $y_0 = h$.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos \alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin \alpha$

Уравнения движения камня в зависимости от времени $\text{t}$:

По горизонтали: $x(t) = v_{0x} t = (v_0 \cos \alpha) t$

По вертикали: $y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{gt^2}{2} = h + (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

В момент падения камня на землю (обозначим это время как $t_{пол}$), его координаты будут $x(t_{пол}) = L$ и $y(t_{пол}) = 0$.

Из уравнения для горизонтальной координаты выразим время полета $t_{пол}$:

$L = (v_0 \cos \alpha) t_{пол} \implies t_{пол} = \frac{L}{v_0 \cos \alpha}$

Теперь подставим это выражение для времени полета в уравнение для вертикальной координаты, приравняв $\text{y}$ к нулю:

$0 = h + (v_0 \sin \alpha) \left(\frac{L}{v_0 \cos \alpha}\right) - \frac{g}{2} \left(\frac{L}{v_0 \cos \alpha}\right)^2$

Упростим полученное уравнение. Заметим, что $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$:

$0 = h + L \tan \alpha - \frac{g L^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}$

Это уравнение траектории. Теперь выразим из него начальную скорость $v_0$:

$\frac{g L^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} = h + L \tan \alpha$

$v_0^2 = \frac{g L^2}{2 \cos^2 \alpha (h + L \tan \alpha)}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$\alpha = 45^\circ$, поэтому $\tan(45^\circ) = 1$ и $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно $\cos^2(45^\circ) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{1}{2}$.

$h = 2,1$ м, $L = 42$ м, $g \approx 9,8$ м/с$^2$.

$v_0^2 = \frac{9,8 \cdot 42^2}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (2,1 + 42 \cdot 1)}$

$v_0^2 = \frac{9,8 \cdot 1764}{1 \cdot (44,1)}$

$v_0^2 = \frac{17287,2}{44,1} = 392$ (м/с)$^2$

Найдем модуль начальной скорости, взяв квадратный корень:

$v_0 = \sqrt{392} = \sqrt{196 \cdot 2} = 14\sqrt{2}$ м/с.

Приближенное значение: $v_0 \approx 19,8$ м/с.

Ответ: начальная скорость камня $v_0 = 14\sqrt{2}$ м/с, что примерно равно $19,8$ м/с.