Номер 192, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 192, страница 133.

Условие.

192. Тело, брошенное под углом $30^\circ$ к горизонту со скоростью $10 \text{ м/с}$, через некоторое время оказалось на высоте $1 \text{ м}$. Найдите это время.

Решение.

Дано:

$\alpha = 30^\circ$
$v_0 = 10 \text{ м/с}$
$h = 1 \text{ м}$
$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{t}$ - ?

Решение:

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали. Зависимость высоты тела $\text{h}$ от времени $\text{t}$ описывается следующим уравнением:

$h(t) = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$

где $v_{0y}$ — это начальная проекция скорости на вертикальную ось (ось Y). Она вычисляется по формуле:

$v_{0y} = v_0 \sin(\alpha)$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи:

$v_{0y} = 10 \text{ м/с} \cdot \sin(30^\circ) = 10 \text{ м/с} \cdot 0.5 = 5 \text{ м/с}$

Теперь подставим значение $v_{0y}$ и высоту $h = 1 \text{ м}$ в основное уравнение движения по вертикали, чтобы найти время $\text{t}$:

$1 = 5t - \frac{10t^2}{2}$

$1 = 5t - 5t^2$

Мы получили квадратное уравнение. Перенесем все его члены в левую часть:

$5t^2 - 5t + 1 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=5$, $b=-5$, $c=1$.

Сначала найдем дискриминант $\text{D}$:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 25 - 20 = 5$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Это означает, что тело достигнет высоты 1 м дважды: первый раз при подъеме, а второй — при спуске.

Найдем эти корни (моменты времени):

$t_1 = \frac{-(-5) - \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{5 - \sqrt{5}}{10} \approx \frac{5 - 2.236}{10} = \frac{2.764}{10} \approx 0.28 \text{ с}$

$t_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{5}}{2 \cdot 5} = \frac{5 + \sqrt{5}}{10} \approx \frac{5 + 2.236}{10} = \frac{7.236}{10} \approx 0.72 \text{ с}$

Ответ: тело окажется на высоте 1 м через $t_1 \approx 0.28 \text{ с}$ (при подъеме) и через $t_2 \approx 0.72 \text{ с}$ (при спуске) после броска.