Номер 193, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 193, страница 134.

Условие.

193. Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, дважды побывал на одной и той же высоте: спустя 3 с и 5 с после начала движения. Найдите начальную скорость камня и эту высоту.

Решение.

Дано:

Угол броска к горизонту: $\alpha = 30^\circ$
Первый момент времени: $t_1 = 3$ с
Второй момент времени: $t_2 = 5$ с
Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Начальную скорость $v_0 - ?$
Высоту $h - ?$

Решение:

Движение камня представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Его можно разложить на два независимых движения: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали. Выберем систему координат, в которой ось Y направлена вертикально вверх, а начало координат совпадает с точкой броска. Зависимость высоты подъема камня $\text{y}$ от времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Здесь $v_{0y}$ — начальная проекция скорости на ось Y. Она связана с полной начальной скоростью $v_0$ и углом броска $\alpha$ следующим соотношением:

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Таким образом, уравнение для высоты $y(t)$ принимает вид:

$y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Согласно условию, камень находился на одной и той же высоте $\text{h}$ в моменты времени $t_1$ и $t_2$. Это означает, что $t_1$ и $t_2$ являются решениями (корнями) уравнения:

$h = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Перепишем это уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно $\text{t}$ ($at^2+bt+c=0$):

$\frac{g}{2}t^2 - (v_0 \sin\alpha)t + h = 0$

Для квадратного уравнения с корнями $t_1$ и $t_2$ по теореме Виета справедливы соотношения для суммы и произведения корней:

$t_1 + t_2 = -\frac{b}{a}$ и $t_1 t_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае коэффициенты равны: $a = \frac{g}{2}$, $b = -v_0 \sin\alpha$, $c = h$. Применим теорему Виета:

1) Сумма корней: $t_1 + t_2 = \frac{-(-v_0 \sin\alpha)}{g/2} = \frac{2v_0 \sin\alpha}{g}$

2) Произведение корней: $t_1 t_2 = \frac{h}{g/2} = \frac{2h}{g}$

Из этих двух соотношений мы можем найти неизвестные величины $v_0$ и $\text{h}$.

Начальная скорость камня

Выразим начальную скорость $v_0$ из первого соотношения:

$v_0 = \frac{g(t_1 + t_2)}{2\sin\alpha}$

Подставим известные из условия значения:

$v_0 = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot (3 \text{ с} + 5 \text{ с})}{2 \cdot \sin30^\circ} = \frac{9.8 \cdot 8}{2 \cdot 0.5} = \frac{78.4}{1} = 78.4 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость камня равна 78.4 м/с.

Эта высота

Выразим высоту $\text{h}$ из второго соотношения:

$h = \frac{g \cdot t_1 \cdot t_2}{2}$

Подставим известные значения:

$h = \frac{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ с} \cdot 5 \text{ с}}{2} = 4.9 \cdot 15 = 73.5 \text{ м}$

Ответ: высота, на которой камень побывал дважды, равна 73.5 м.