Номер 190, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 190, страница 133.

Условие.

190. Камень, брошенный с башни вверх под углом $60^\circ$ к горизонту, имел начальную скорость $10 \text{ м/с}$. Чему равна высота башни, если камень упал на землю через $3 \text{ с}$?

Решение.

Дано:

$\alpha = 60^\circ$ (угол броска к горизонту)

$v_0 = 10 \text{ м/с}$ (начальная скорость)

$t = 3 \text{ с}$ (время полета)

$g \approx 10 \text{ м/с}^2$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$\text{h}$ - высота башни

Решение:

Для решения задачи используем уравнение движения тела в поле тяжести. Выберем систему координат, в которой начало отсчета ($y=0$) находится на поверхности земли, а ось OY направлена вертикально вверх. В этом случае начальная высота камня будет равна высоте башни $\text{h}$.

Зависимость вертикальной координаты камня от времени описывается формулой:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2}$

где:

$y(t)$ - координата в момент времени $\text{t}$. По условию, через 3 секунды камень упал на землю, следовательно, $y(3 \text{ с}) = 0$.

$y_0$ - начальная координата, равная высоте башни $\text{h}$.

$v_{0y}$ - проекция начальной скорости на ось OY. $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$.

$a_y$ - проекция ускорения на ось OY. Так как ускорение свободного падения направлено вниз, $a_y = -g$.

Подставив эти значения в уравнение, получим:

$0 = h + (v_0 \sin(\alpha)) \cdot t - \frac{g t^2}{2}$

Отсюда выразим искомую высоту башни $\text{h}$:

$h = \frac{g t^2}{2} - v_0 \sin(\alpha) t$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (3 \text{ с})^2}{2} - 10 \text{ м/с} \cdot \sin(60^\circ) \cdot 3 \text{ с}$

Зная, что $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$h = \frac{10 \cdot 9}{2} - 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3$

$h = 45 - 15\sqrt{3}$

Вычислим приближенное значение, приняв $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$h \approx 45 - 15 \cdot 1.732 = 45 - 25.98 = 19.02 \text{ м}$

Ответ: высота башни равна $19.02$ м.