Номер 188, страница 133 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 188, страница 133.

Условие.

188. Из шланга, установленного на земле, бьет под углом $30^\circ$ к горизонту струя воды, вылетая со скоростью 15 м/с. Определите дальность полета струи.

Решение.

Дано:

Угол броска, $ \alpha = 30° $

Начальная скорость, $ v_0 = 15 $ м/с

Ускорение свободного падения, $ g \approx 9.8 $ м/с²

Найти:

Дальность полета струи, $ L $

Решение:

Движение струи воды представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Для решения задачи разложим движение на две составляющие: равномерное движение вдоль горизонтальной оси (Ox) и равноускоренное движение вдоль вертикальной оси (Oy). Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Начальная скорость $ v_0 $ раскладывается на горизонтальную $ v_{0x} $ и вертикальную $ v_{0y} $ составляющие:

$ v_{0x} = v_0 \cos(\alpha) $

$ v_{0y} = v_0 \sin(\alpha) $

Дальность полета $ L $ — это расстояние, которое струя преодолеет по горизонтали за всё время полета $ t $. Так как горизонтальное движение равномерное, дальность полета определяется формулой:

$ L = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t $

Для нахождения $ L $ необходимо определить полное время полета $ t $. Время полета можно найти из уравнения движения по вертикали. Высота $ y $ струи над землей в момент времени $ t $ описывается уравнением:

$ y(t) = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} $

Поскольку струя вылетает с земли ($ y(0)=0 $) и падает на землю, в конце полета ее высота также будет равна нулю ($ y(t)=0 $). Подставим это в уравнение:

$ v_0 \sin(\alpha) t - \frac{gt^2}{2} = 0 $

Вынесем $ t $ за скобки:

$ t \left( v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt}{2} \right) = 0 $

Это уравнение имеет два решения: $ t_1 = 0 $, что соответствует моменту старта, и $ v_0 \sin(\alpha) - \frac{gt}{2} = 0 $, что соответствует моменту падения. Из второго уравнения найдем полное время полета $ t $:

$ \frac{gt}{2} = v_0 \sin(\alpha) $

$ t = \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} $

Теперь подставим найденное время полета $ t $ в формулу для дальности полета $ L $:

$ L = v_0 \cos(\alpha) \cdot \left( \frac{2v_0 \sin(\alpha)}{g} \right) = \frac{v_0^2 \cdot 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g} $

Используя тригонометрическое тождество двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $, упростим формулу:

$ L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} $

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$ L = \frac{(15 \text{ м/с})^2 \cdot \sin(2 \cdot 30°)}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{225 \text{ м}^2/\text{с}^2 \cdot \sin(60°)}{9.8 \text{ м/с}^2} $

Значение синуса 60 градусов: $ \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $.

$ L = \frac{225 \cdot 0.866}{9.8} \approx \frac{194.85}{9.8} \approx 19.88 \text{ м} $

Округлим результат до десятых.

Ответ: дальность полета струи составляет примерно 19.9 м.