Номер 196, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 196, страница 134.

Условие.

196. Тело брошено под некоторым углом к горизонту так, что максимальная высота подъема в 4 раза меньше дальности полета. Определите угол бросания.

Решение.

Дано:

$L = 4H$, где $\text{L}$ — дальность полета, $\text{H}$ — максимальная высота подъема.

Найти:

$\alpha$ — угол бросания.

Решение:

Запишем формулы для дальности полета ($\text{L}$) и максимальной высоты подъема ($\text{H}$) тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$:

Дальность полета:

$L = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Максимальная высота подъема:

$H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$

По условию задачи, максимальная высота подъема в 4 раза меньше дальности полета, что можно записать как $L = 4H$.

Подставим выражения для $\text{L}$ и $\text{H}$ в это соотношение:

$\frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g} = 4 \left( \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} \right)$

Упростим полученное уравнение. Можно сократить общие множители $v_0^2$ и $\text{g}$ в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю.

$\sin(2\alpha) = \frac{4 \sin^2\alpha}{2}$

$\sin(2\alpha) = 2 \sin^2\alpha$

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha$.

$2 \sin\alpha \cos\alpha = 2 \sin^2\alpha$

Так как для осуществления броска под углом к горизонту угол $\alpha$ должен быть в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, то $\sin\alpha \neq 0$. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $2 \sin\alpha$.

$\cos\alpha = \sin\alpha$

Чтобы найти угол $\alpha$, разделим обе части на $\cos\alpha$ (при $\alpha \neq 90^\circ$, $\cos\alpha \neq 0$):

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 1$

Так как $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$, получаем:

$\tan\alpha = 1$

Из этого уравнения находим угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$

Ответ: Угол бросания равен $45^\circ$.