Номер 198, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 198, страница 134.

Условие.

198. Футболист наносит удар по мячу, после чего мяч летит со скоростью $13 \text{ м/с}$ под углом $30^\circ$ к горизонту. Попадет ли мяч в ворота, если удар производится с расстояния $11 \text{ м}$, а высота ворот $2,2 \text{ м}$?

Решение.

Дано:

Начальная скорость мяча, $v_0 = 13$ м/с

Угол к горизонту, $\alpha = 30°$

Расстояние до ворот, $L = 11$ м

Высота ворот, $H = 2,2$ м

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с$^2$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Попадет ли мяч в ворота?

Решение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо определить высоту $\text{y}$, на которой будет находиться мяч, когда он достигнет плоскости ворот. Если эта высота окажется в пределах от 0 до высоты ворот $\text{H}$, то мяч попадет в ворота.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту, можно рассматривать как совокупность двух независимых движений: равномерного по горизонтальной оси (X) и равноускоренного (с ускорением $\text{g}$) по вертикальной оси (Y). Начало координат $(0,0)$ поместим в точку удара.

Разложим вектор начальной скорости $v_0$ на составляющие:

Горизонтальная составляющая: $v_{0x} = v_0 \cdot \cos(\alpha)$

Вертикальная составляющая: $v_{0y} = v_0 \cdot \sin(\alpha)$

Уравнения движения мяча по осям координат имеют вид:

По оси X: $x(t) = v_{0x} \cdot t = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

По оси Y: $y(t) = v_{0y} \cdot t - \frac{gt^2}{2} = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Сначала найдем время $\text{t}$, за которое мяч пролетит горизонтальное расстояние $L = 11$ м до ворот. Для этого используем уравнение движения по оси X:

$L = v_0 \cos(\alpha) \cdot t$

Выразим отсюда время $\text{t}$:

$t = \frac{L}{v_0 \cos(\alpha)}$

Подставим числовые значения:

$t = \frac{11}{13 \cdot \cos(30°)} = \frac{11}{13 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} \approx \frac{11}{13 \cdot 0,866} \approx \frac{11}{11,258} \approx 0,977$ с.

Теперь, зная время полета до ворот, мы можем найти высоту $\text{y}$, на которой будет мяч в этот момент. Подставим найденное время $\text{t}$ в уравнение движения по оси Y:

$y = v_0 \sin(\alpha) \cdot t - \frac{gt^2}{2}$

Подставим значения:

$y = 13 \cdot \sin(30°) \cdot 0,977 - \frac{9,8 \cdot (0,977)^2}{2}$

$y = 13 \cdot 0,5 \cdot 0,977 - \frac{9,8 \cdot 0,9545}{2}$

$y = 6,5 \cdot 0,977 - 4,9 \cdot 0,9545$

$y \approx 6,351 - 4,677 \approx 1,674$ м.

Итак, на расстоянии 11 м от точки удара мяч будет находиться на высоте примерно $1,67$ м. Сравним это значение с высотой ворот $H = 2,2$ м.

Условие попадания в ворота: $0 < y < H$.

В нашем случае: $0 < 1,67 \text{ м} < 2,2 \text{ м}$. Условие выполняется.

Ответ: Да, мяч попадет в ворота, так как в момент, когда он долетит до них, его высота над землей составит примерно 1,67 м, что меньше высоты ворот (2,2 м).