Номер 205, страница 135 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 205, страница 135.

Условие.

205. С высоты 20 м свободно падает стальной шарик. Через 1 с после начала падения он сталкивается с неподвижной плитой, плоскость которой наклонена под углом $30^{\circ}$ к горизонту. На какую высоту над поверхностью земли поднимется шарик после удара? Удар шарика считать абсолютно упругим.

Решение.

Дано:

Начальная высота: $H = 20$ м
Время падения до столкновения: $t_1 = 1$ с
Угол наклона плиты к горизонту: $\alpha = 30°$
Начальная скорость: $v_0 = 0$ м/с
Ускорение свободного падения: $g \approx 10$ м/с²

Все величины даны в системе СИ.

Найти:

Максимальную высоту подъема шарика после удара $h_{max}$.

Решение:

Решение задачи можно разделить на три этапа: движение шарика до столкновения, анализ абсолютно упругого удара и движение шарика после столкновения.

1. Определим скорость и высоту шарика в момент удара. Так как шарик падает свободно, его скорость $v_1$ через время $t_1$ равна:

$v_1 = g t_1 = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 10 \text{ м/с}$

Расстояние, которое шарик пролетел за это время:

$\Delta h_1 = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (1 \text{ с})^2}{2} = 5 \text{ м}$

Таким образом, столкновение происходит на высоте $h_1$ над землей:

$h_1 = H - \Delta h_1 = 20 \text{ м} - 5 \text{ м} = 15 \text{ м}$

2. Проанализируем абсолютно упругий удар о неподвижную плиту. При таком ударе модуль скорости шарика сохраняется, т.е. скорость сразу после удара $v_2$ равна $v_1$. Направление скорости изменяется согласно закону отражения: угол падения равен углу отражения.

Вектор скорости $\vec{v}_1$ перед ударом направлен вертикально вниз. Плита наклонена под углом $\alpha$ к горизонту. Это означает, что нормаль (перпендикуляр) к поверхности плиты наклонена под тем же углом $\alpha$ к вертикали. Угол падения (угол между вектором скорости и нормалью) равен $\alpha = 30°$.

Следовательно, угол отражения также равен $\alpha$. Угол между направлением до удара (вертикаль) и направлением после удара будет равен $2\alpha$. Для определения высоты подъема нам нужна вертикальная составляющая скорости $v_{2y}$, направленная вверх, сразу после отскока:

$v_{2y} = v_2 \cos(2\alpha) = v_1 \cos(2\alpha) = 10 \text{ м/с} \cdot \cos(2 \cdot 30°) = 10 \text{ м/с} \cdot \cos(60°) = 10 \text{ м/с} \cdot 0.5 = 5 \text{ м/с}$

3. Найдем максимальную высоту подъема после удара. Шарик начинает движение с высоты $h_1 = 15$ м с начальной вертикальной скоростью $v_{2y} = 5$ м/с. Дополнительная высота $\Delta h_2$, на которую он поднимется, определяется по формуле:

$\Delta h_2 = \frac{v_{2y}^2}{2g} = \frac{(5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{25}{20} \text{ м} = 1.25 \text{ м}$

Итоговая максимальная высота $h_{max}$ над поверхностью земли будет равна сумме высоты в момент удара $h_1$ и дополнительной высоты подъема $\Delta h_2$:

$h_{max} = h_1 + \Delta h_2 = 15 \text{ м} + 1.25 \text{ м} = 16.25 \text{ м}$

Ответ: шарик поднимется на высоту $16.25$ м над поверхностью земли.