Номер 210, страница 135 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 210, страница 135.

Условие.

210. Пожарный направляет струю воды на крышу дома высотой 20 м. На каком расстоянии по горизонтали от пожарного падает струя на крышу дома, если максимальная высота подъема струи 30 м и из ствола брандспойта она вырывается со скоростью 25 м/с?

Решение.

Дано:

$h = 20$ м

$H_{max} = 30$ м

$v_0 = 25$ м/с

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$.

Найти:

$\text{L}$ — ?

Решение:

Движение струи воды является движением тела, брошенного под углом к горизонту. Положение струи в любой момент времени $\text{t}$ описывается уравнениями:

$x(t) = (v_0 \cos \alpha) t$

$y(t) = (v_0 \sin \alpha) t - \frac{gt^2}{2}$

где $\alpha$ — угол, под которым струя вылетает из брандспойта, $v_0$ — начальная скорость.

Максимальная высота подъема $H_{max}$ связана с вертикальной составляющей начальной скорости $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$ формулой:

$H_{max} = \frac{(v_0 \sin \alpha)^2}{2g}$

Подставим известные значения, чтобы найти угол $\alpha$:

$30 = \frac{(25 \cdot \sin \alpha)^2}{2 \cdot 10}$

$30 \cdot 20 = 625 \sin^2 \alpha$

$600 = 625 \sin^2 \alpha$

$\sin^2 \alpha = \frac{600}{625} = \frac{24}{25}$

Отсюда находим синус угла:

$\sin \alpha = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, найдем косинус угла (считаем, что угол острый):

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{24}{25} = \frac{1}{25}$

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$

Теперь мы можем определить горизонтальную ($v_{0x}$) и вертикальную ($v_{0y}$) составляющие начальной скорости:

$v_{0x} = v_0 \cos \alpha = 25 \cdot \frac{1}{5} = 5$ м/с

$v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 25 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{5} = 10\sqrt{6}$ м/с

Далее найдем время $\text{t}$, за которое струя достигнет высоты крыши $h = 20$ м. Используем уравнение для вертикальной координаты:

$h = v_{0y} t - \frac{gt^2}{2}$

$20 = 10\sqrt{6} \cdot t - \frac{10 \cdot t^2}{2}$

$20 = 10\sqrt{6} t - 5t^2$

Разделим все уравнение на 5 и перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 2\sqrt{6} t + 4 = 0$

Решим это уравнение относительно $\text{t}$:

$t = \frac{-(-2\sqrt{6}) \pm \sqrt{(-2\sqrt{6})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{24 - 16}}{2} = \frac{2\sqrt{6} \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2\sqrt{6} \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$t = \sqrt{6} \pm \sqrt{2}$

Мы получили два значения времени: $t_1 = \sqrt{6} - \sqrt{2}$ с и $t_2 = \sqrt{6} + \sqrt{2}$ с. Это означает, что струя находится на высоте 20 м дважды: первый раз при подъеме ($t_1$), второй раз при спуске ($t_2$). В условии задачи сказано, что струя "падает на крышу", что подразумевает движение вниз. Следовательно, мы должны выбрать большее значение времени, $t_2$.

Теперь можем найти искомое горизонтальное расстояние $\text{L}$, подставив время $t_2$ в уравнение для горизонтальной координаты:

$L = v_{0x} \cdot t_2 = 5 \cdot (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ м

Вычислим приблизительное значение:

$L \approx 5 \cdot (2.45 + 1.41) = 5 \cdot 3.86 = 19.3$ м

Ответ: Струя падает на крышу на горизонтальном расстоянии $L = 5(\sqrt{6} + \sqrt{2})$ м, что приблизительно равно 19,3 м.