Номер 217, страница 136 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 217, страница 136.

Условие.

217. Оцените массу Земли по ее полярному радиусу $6370 \, \text{км}$ и ускорению свободного падения на полюсе $9,83 \, \text{м}/\text{с}^2$.

Решение.

Дано:

Полярный радиус Земли, $R = 6370$ км

Ускорение свободного падения на полюсе, $g = 9.83$ м/с²

Гравитационная постоянная, $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Перевод в систему СИ:

$R = 6370 \text{ км} = 6370 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.37 \cdot 10^6 \text{ м}$

Найти:

Массу Земли, $\text{M}$

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело массой $\text{m}$ у поверхности Земли, определяется вторым законом Ньютона: $F_{\text{тяж}} = mg$. Эта сила является силой гравитационного притяжения, которая описывается законом всемирного тяготения: $F_{\text{грав}} = G \frac{M m}{R^2}$, где $\text{M}$ – масса Земли, а $\text{R}$ – её радиус.

На полюсе центробежная сила, вызванная вращением Земли, равна нулю, поэтому мы можем приравнять силу тяжести и гравитационную силу:

$mg = G \frac{M m}{R^2}$

Сократив массу тела $\text{m}$ в обеих частях уравнения, получаем формулу для ускорения свободного падения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы выразим массу Земли $\text{M}$:

$M = \frac{g R^2}{G}$

Теперь подставим числовые значения в полученное выражение:

$M = \frac{9.83 \text{ м/с}^2 \cdot (6.37 \cdot 10^6 \text{ м})^2}{6.67 \cdot 10^{-11} \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2}$

Выполним вычисления:

$(6.37 \cdot 10^6)^2 = 6.37^2 \cdot (10^6)^2 \approx 40.577 \cdot 10^{12} \text{ м}^2$

$M \approx \frac{9.83 \cdot 40.577 \cdot 10^{12}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг} \approx \frac{398.87 \cdot 10^{12}}{6.67 \cdot 10^{-11}} \text{ кг}$

$M \approx 59.8 \cdot 10^{23} \text{ кг} \approx 5.98 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

Ответ: Масса Земли составляет приблизительно $5.98 \cdot 10^{24}$ кг.