Номер 219, страница 136 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 219, страница 136.

Условие.

219. Каково ускорение свободного падения на высоте, равной двум радиусам Земли? Радиус Земли 6400 км, масса Земли $6 \cdot 10^{24}$ кг.

Решение.

Дано:

$h = 2R_З$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$M_З = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$

$G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ (гравитационная постоянная)

Найти:

$g_h$ - ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$.

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на расстоянии $\text{r}$ от центра тела массой $\text{M}$ определяется по закону всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли ($M_З$), а $\text{r}$ — расстояние от центра Земли до точки, в которой определяется ускорение.

В данном случае точка находится на высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли, поэтому расстояние от центра Земли будет суммой радиуса Земли $R_З$ и высоты $\text{h}$:

$r = R_З + h$

Согласно условию задачи, высота равна двум радиусам Земли:

$h = 2R_З$

Подставим это значение в выражение для $\text{r}$:

$r = R_З + 2R_З = 3R_З$

Теперь подставим полученное расстояние $\text{r}$ в формулу для ускорения свободного падения, чтобы найти ускорение на высоте $\text{h}$ ($g_h$):

$g_h = G \frac{M_З}{(3R_З)^2} = G \frac{M_З}{9R_З^2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$g_h = \frac{6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}}{9 \cdot (6.4 \cdot 10^6 \text{ м})^2}$

Выполним вычисления:

$g_h = \frac{6.67 \cdot 6 \cdot 10^{13}}{9 \cdot (6.4)^2 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{40.02 \cdot 10^{13}}{9 \cdot 40.96 \cdot 10^{12}} \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

$g_h = \frac{40.02 \cdot 10}{368.64} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx \frac{400.2}{368.64} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 1.0856 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Округлим полученное значение до сотых:

$g_h \approx 1.09 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: ускорение свободного падения на высоте, равной двум радиусам Земли, составляет примерно $1.09 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$.