Номер 225, страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 225, страница 137.

Условие.

225. Два шара радиусами $20 \text{ см}$ и $80 \text{ см}$ соприкасаются друг с другом. Во сколько раз уменьшится сила тяготения между шарами, если их раздвинуть на $100 \text{ см}$?

Решение.

Дано

Радиус первого шара: $R_1 = 20$ см

Радиус второго шара: $R_2 = 80$ см

Расстояние, на которое раздвинули шары: $\Delta L = 100$ см

Перевод в систему СИ:

$R_1 = 0.2$ м

$R_2 = 0.8$ м

$\Delta L = 1.0$ м

Найти:

Во сколько раз уменьшится сила тяготения, то есть отношение начальной силы $F_1$ к конечной силе $F_2$: $\frac{F_1}{F_2}$

Решение

Сила всемирного тяготения между двумя телами описывается законом Ньютона:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$, где $\text{G}$ - гравитационная постоянная, $m_1$ и $m_2$ - массы шаров, а $\text{r}$ - расстояние между их центрами.

1. Найдем расстояние между центрами шаров в начальном положении, когда они соприкасаются. В этом случае расстояние между центрами равно сумме их радиусов:

$r_1 = R_1 + R_2 = 0.2 \text{ м} + 0.8 \text{ м} = 1.0 \text{ м}$

Сила тяготения в этом положении ($F_1$) равна:

$F_1 = G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}$

2. Когда шары раздвинули на расстояние $\Delta L$, расстояние между их поверхностями стало равно $\Delta L$. Новое расстояние между их центрами ($r_2$) будет равно сумме радиусов и расстоянию, на которое их раздвинули. Иначе говоря, к начальному расстоянию между центрами $r_1$ добавилось расстояние $\Delta L$:

$r_2 = r_1 + \Delta L = 1.0 \text{ м} + 1.0 \text{ м} = 2.0 \text{ м}$

Сила тяготения в новом положении ($F_2$) равна:

$F_2 = G \frac{m_1 m_2}{r_2^2}$

3. Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась сила, необходимо найти отношение начальной силы $F_1$ к конечной силе $F_2$:

$\frac{F_1}{F_2} = \frac{G \frac{m_1 m_2}{r_1^2}}{G \frac{m_1 m_2}{r_2^2}} = \frac{r_2^2}{r_1^2} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2$

Подставим численные значения расстояний в полученную формулу:

$\frac{F_1}{F_2} = \left(\frac{2.0 \text{ м}}{1.0 \text{ м}}\right)^2 = 2^2 = 4$

Ответ: сила тяготения уменьшится в 4 раза.