Номер 227, страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 227, страница 137.

Условие.

227. Определите силу тяжести, действующую на тело массой 1 т на высоте 100 км над поверхностью Земли. Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным 9,8 $м/с^2$.

Решение.

Дано:

m = 1 т

h = 100 км

R = 6400 км

g₀ = 9,8 м/с² (ускорение свободного падения на поверхности Земли)

Перевод в систему СИ:

m = 1 т = 1000 кг

h = 100 км = 100 ⋅ 10³ м = 1 ⋅ 10⁵ м

R = 6400 км = 6400 ⋅ 10³ м = 6,4 ⋅ 10⁶ м

Найти:

F - ?

Решение:

Сила тяжести, действующая на тело на некоторой высоте над поверхностью планеты, определяется законом всемирного тяготения:

$F = G \frac{M \cdot m}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса Земли, $\text{m}$ — масса тела, а $\text{r}$ — расстояние от центра Земли до тела. В данном случае расстояние $\text{r}$ равно сумме радиуса Земли $\text{R}$ и высоты $\text{h}$ над поверхностью:

$r = R + h$

Таким образом, формула для силы тяжести принимает вид:

$F = G \frac{M \cdot m}{(R+h)^2}$ (1)

Ускорение свободного падения на поверхности Земли $g_0$ связано с массой и радиусом Земли следующим соотношением (которое также следует из закона всемирного тяготения при $r=R$):

$g_0 = G \frac{M}{R^2}$

Из этой формулы мы можем выразить произведение $G \cdot M$:

$G \cdot M = g_0 \cdot R^2$

Теперь подставим это выражение в формулу (1):

$F = \frac{(g_0 \cdot R^2) \cdot m}{(R+h)^2} = m \cdot g_0 \cdot \frac{R^2}{(R+h)^2} = m \cdot g_0 \cdot \left(\frac{R}{R+h}\right)^2$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$R + h = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м} + 0,1 \cdot 10^6 \text{ м} = 6,5 \cdot 10^6 \text{ м}$

$F = 1000 \text{ кг} \cdot 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \left(\frac{6,4 \cdot 10^6 \text{ м}}{6,5 \cdot 10^6 \text{ м}}\right)^2$

$F = 9800 \cdot \left(\frac{64}{65}\right)^2 \approx 9800 \cdot 0,9846^2 \approx 9800 \cdot 0,96946$

$F \approx 9500,7 \text{ Н}$

Округляя, получаем примерно 9500 Н или 9,5 кН.

Ответ: сила тяжести, действующая на тело, составляет примерно 9500 Н (или 9,5 кН).