Номер 229, страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 229, страница 137.

Условие.

229. Определите, на какой высоте от поверхности Земли ускорение свободного падения равно $5 \text{ м/с}^2$. Радиус Земли 6400 км. Ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным $10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано:

Ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$: $g_h = 5$ м/с²

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g_0 = 10$ м/с²

Радиус Земли: $R = 6400$ км

Перевод в систему СИ:

$R = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6$ м

Найти:

Высоту от поверхности Земли $\text{h}$.

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$, создаваемое гравитационным полем Земли на расстоянии $\text{r}$ от её центра, определяется формулой:

$g = G\frac{M}{r^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, а $\text{M}$ — масса Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $\text{R}$. Ускорение свободного падения на поверхности $g_0$ равно:

$g_0 = G\frac{M}{R^2}$

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли расстояние до её центра составляет $r = R+h$. Ускорение свободного падения на этой высоте $g_h$ равно:

$g_h = G\frac{M}{(R+h)^2}$

Чтобы найти искомую высоту $\text{h}$, разделим второе уравнение на первое. Это позволит нам исключить величины $\text{G}$ и $\text{M}$:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{G\frac{M}{(R+h)^2}}{G\frac{M}{R^2}} = \frac{R^2}{(R+h)^2} = (\frac{R}{R+h})^2$

Подставим в это соотношение известные значения $g_h$ и $g_0$:

$\frac{5 \text{ м/с}^2}{10 \text{ м/с}^2} = (\frac{R}{R+h})^2$

$\frac{1}{2} = (\frac{R}{R+h})^2$

Извлечём квадратный корень из обеих частей равенства:

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{R}{R+h}$

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{R}{R+h}$

Теперь выразим $\text{h}$ из этого уравнения:

$R+h = R\sqrt{2}$

$h = R\sqrt{2} - R = R(\sqrt{2} - 1)$

Подставим числовое значение радиуса Земли $R = 6400$ км и воспользуемся приближённым значением $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$h \approx 6400 \text{ км} \times (1.414 - 1)$

$h \approx 6400 \text{ км} \times 0.414 = 2649.6$ км

Округлим полученное значение.

Ответ: искомая высота составляет примерно 2650 км.