Номер 230, страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 230, страница 137.

Условие.

230. Радиус некоторой планеты в $\sqrt{2}$ раз меньше радиуса Земли, а ускорение свободного падения на поверхности планеты в 3 раза меньше, чем на поверхности Земли. Во сколько раз масса планеты меньше массы Земли?

Решение.

Дано:

Соотношение радиусов: $R_З = \sqrt{2} R_п$

Соотношение ускорений свободного падения: $g_З = 3 g_п$

Найти:

Во сколько раз масса планеты меньше массы Земли, то есть найти отношение $\frac{M_З}{M_п}$.

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела определяется по формуле, вытекающей из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса небесного тела, $\text{R}$ – его радиус.

Запишем эту формулу для Земли (индекс "З") и для планеты (индекс "п"):

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

$g_п = G \frac{M_п}{R_п^2}$

Чтобы найти отношение масс, выразим массу из каждой формулы:

$M_З = \frac{g_З R_З^2}{G}$

$M_п = \frac{g_п R_п^2}{G}$

Теперь найдем искомое отношение, разделив массу Земли на массу планеты:

$\frac{M_З}{M_п} = \frac{\frac{g_З R_З^2}{G}}{\frac{g_п R_п^2}{G}} = \frac{g_З R_З^2}{g_п R_п^2} = \left(\frac{g_З}{g_п}\right) \cdot \left(\frac{R_З}{R_п}\right)^2$

Из условия задачи нам известны отношения $\frac{g_З}{g_п} = 3$ и $\frac{R_З}{R_п} = \sqrt{2}$. Подставим эти значения в полученное выражение:

$\frac{M_З}{M_п} = 3 \cdot (\sqrt{2})^2 = 3 \cdot 2 = 6$

Таким образом, масса Земли в 6 раз больше массы планеты.

Ответ: масса планеты в 6 раз меньше массы Земли.