Номер 232, страница 138 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 232, страница 138.

Условие.

232. Плотность некоторой планеты такая же, как у Земли, а радиус этой планеты в 2 раза меньше, чем у Земли. Найдите значение ускорения свободного падения на поверхности этой планеты. На поверхности Земли ускорение свободного падения считать равным $10 \text{ м}/\text{с}^2$.

Решение.

Дано:

Плотность планеты: $\rho_п$

Плотность Земли: $\rho_З$

Радиус планеты: $R_п$

Радиус Земли: $R_З$

Ускорение свободного падения на Земле: $g_З = 10 \text{ м/с}^2$

Соотношения по условию:

$\rho_п = \rho_З$

$R_п = \frac{R_З}{2}$

Найти:

$g_п$ - ?

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности планеты определяется формулой, которая следует из закона всемирного тяготения:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — ее радиус.

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:

$M = \\rho\cdot V$

Считая планету идеальным шаром, ее объем вычисляется по формуле:

$V = \frac{4}{3} \pi R^3$

Подставим выражение для объема в формулу для массы:

$M = \\rho\cdot \frac{4}{3} \pi R^3$

Теперь подставим полученное выражение для массы в исходную формулу для ускорения свободного падения:

$g = G \frac{\\rho\cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \\rhoR$

Из этой формулы видно, что ускорение свободного падения прямо пропорционально плотности и радиусу планеты.

Запишем это соотношение для Земли и для рассматриваемой планеты:

$g_З = \frac{4}{3} \pi G \rho_З R_З$

$g_п = \frac{4}{3} \pi G \rho_п R_п$

Чтобы найти, как соотносятся ускорения, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{g_п}{g_З} = \frac{\frac{4}{3} \pi G \rho_п R_п}{\frac{4}{3} \pi G \rho_З R_З} = \frac{\rho_п R_п}{\rho_З R_З}$

По условию задачи, плотности планет одинаковы ($\rho_п = \rho_З$), а радиус планеты в 2 раза меньше радиуса Земли ($R_п = \frac{R_З}{2}$). Подставим эти данные в полученное соотношение:

$\frac{g_п}{g_З} = \frac{\rho_З \cdot (\frac{R_З}{2})}{\rho_З \cdot R_З} = \frac{1}{2}$

Отсюда можем выразить ускорение свободного падения на планете $g_п$:

$g_п = \frac{1}{2} g_З$

Подставим известное значение ускорения свободного падения на Земле ($g_З = 10 \text{ м/с}^2$):

$g_п = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 5 \text{ м/с}^2$

Ответ: $5 \text{ м/с}^2$.