Номер 234, страница 138 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 234, страница 138.

Условие.

234. Сколько метров пройдет тело, свободно падая без начальной скорости, в течение первых трех секунд у поверхности планеты, радиус которой меньше земного на одну треть, а средняя плотность планеты на 10% меньше, чем у Земли? Ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным $10 \text{ м/с}^2$.

Решение.

Дано

Начальная скорость: $v_0 = 0 \text{ м/с}$
Время падения: $t = 3 \text{ с}$
Радиус планеты: $R_п = R_З - \frac{1}{3}R_З = \frac{2}{3}R_З$
Средняя плотность планеты: $\rho_п = \rho_З - 0.1\rho_З = 0.9\rho_З$
Ускорение свободного падения на Земле: $g_З = 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\text{h}$ - расстояние, пройденное телом.

Решение

Расстояние, которое проходит тело при свободном падении без начальной скорости, определяется по формуле равноускоренного движения:$h = v_0 t + \frac{g_п t^2}{2}$
Поскольку начальная скорость равна нулю ($v_0 = 0$), формула упрощается до:$h = \frac{g_п t^2}{2}$
где $g_п$ — ускорение свободного падения на поверхности планеты.

Чтобы найти $g_п$, сначала выразим ускорение свободного падения через основные параметры планеты. Формула ускорения свободного падения на поверхности планеты:$g = \frac{GM}{R^2}$
где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса планеты, $\text{R}$ — радиус планеты.

Массу планеты можно выразить через её среднюю плотность $\rho$ и объём $\text{V}$. Предполагая, что планета имеет форму шара, её объём равен $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Тогда масса:$M = \\rhoV = \\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим выражение для массы в формулу для ускорения свободного падения:$g = \frac{G \cdot (\\rho\cdot \frac{4}{3}\pi R^3)}{R^2} = \frac{4}{3}\pi G \\rhoR$

Из этой формулы видно, что ускорение свободного падения прямо пропорционально произведению средней плотности и радиуса планеты ($g \sim \\rhoR$). Теперь можем найти отношение ускорений свободного падения на планете ($g_п$) и на Земле ($g_З$):$\frac{g_п}{g_З} = \frac{\frac{4}{3}\pi G \rho_п R_п}{\frac{4}{3}\pi G \rho_З R_З} = \frac{\rho_п R_п}{\rho_З R_З}$

Используем данные из условия задачи: $R_п = \frac{2}{3}R_З$ и $\rho_п = 0.9\rho_З$. Подставим эти соотношения в формулу:$\frac{g_п}{g_З} = \frac{(0.9\rho_З) \cdot (\frac{2}{3}R_З)}{\rho_З R_З} = 0.9 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{30} = 0.6$

Теперь найдём ускорение свободного падения на планете, зная, что на Земле $g_З = 10 \text{ м/с}^2$:$g_п = 0.6 \cdot g_З = 0.6 \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 6 \text{ м/с}^2$

Наконец, рассчитаем расстояние, пройденное телом за первые три секунды падения на этой планете:$h = \frac{g_п t^2}{2} = \frac{6 \text{ м/с}^2 \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{6 \cdot 9}{2} = 3 \cdot 9 = 27 \text{ м}$

Ответ: 27 метров.