Номер 233, страница 138 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 233, страница 138.

Условие.

233. Расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой (указать расстояние от центра Земли), соединяющей их центры, тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами? Радиус Земли 6400 км.

Решение.

Дано:

$L = 60 R_З$

$M_З = 81 M_Л$

$R_З = 6400 \text{ км}$

Перевод в систему СИ:
$R_З = 6400 \text{ км} = 6.4 \cdot 10^6 \text{ м}$
$L = 60 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$

Найти:

$\text{x}$ — расстояние от центра Земли до искомой точки.

Решение:

Пусть $\text{m}$ — масса тела, помещенного на прямой, соединяющей центры Земли и Луны. Пусть $\text{x}$ — расстояние от центра Земли до этого тела. Тогда расстояние от центра Луны до тела будет $L - x$, где $\text{L}$ — расстояние между центрами Земли и Луны.

Сила притяжения тела к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) определяется законом всемирного тяготения:
$F_З = G \frac{M_З m}{x^2}$
$F_Л = G \frac{M_Л m}{(L-x)^2}$
где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $M_Л$ — масса Луны.

По условию задачи, эти силы равны: $F_З = F_Л$.
$G \frac{M_З m}{x^2} = G \frac{M_Л m}{(L-x)^2}$

Сократим $\text{G}$ и $\text{m}$:
$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(L-x)^2}$

Из условия известно, что $M_Л = \frac{M_З}{81}$. Подставим это в уравнение:
$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_З/81}{(L-x)^2}$

Сократим $M_З$:
$\frac{1}{x^2} = \frac{1}{81(L-x)^2}$

Перепишем уравнение в виде:
$81(L-x)^2 = x^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Рассматриваем точку, расположенную между Землей и Луной, поэтому $x > 0$ и $L-x > 0$.
$9(L-x) = x$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $\text{x}$:
$9L - 9x = x$
$9L = 10x$
$x = \frac{9}{10}L$

Подставим значение $L = 60 R_З$:
$x = \frac{9}{10} \cdot 60 R_З = 9 \cdot 6 R_З = 54 R_З$

Теперь вычислим расстояние в километрах, зная, что $R_З = 6400$ км:
$x = 54 \cdot 6400 \text{ км} = 345600 \text{ км}$

Ответ: тело будет притягиваться к Земле и Луне с одинаковыми силами в точке, расположенной на расстоянии 345 600 км от центра Земли.