Номер 228, страница 137 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 228, страница 137.

Условие.

228. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли?

Решение.

Дано

$g_h = \frac{g_0}{16}$
$R_З \approx 6400$ км (средний радиус Земли)

$R_З \approx 6.4 \times 10^6$ м

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на некотором расстоянии $\text{r}$ от центра Земли определяется законом всемирного тяготения: $g = G \frac{M}{r^2}$, где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, а $\text{M}$ — масса Земли.

На поверхности Земли расстояние до центра равно радиусу Земли $R_З$. Ускорение свободного падения на поверхности ($g_0$) равно: $g_0 = G \frac{M}{R_З^2}$.

На высоте $\text{h}$ над поверхностью Земли расстояние до центра Земли будет равно $r = R_З + h$. Ускорение свободного падения на этой высоте ($g_h$) будет: $g_h = G \frac{M}{(R_З + h)^2}$.

По условию задачи, ускорение свободного падения на высоте $\text{h}$ в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли: $g_h = \frac{g_0}{16}$.

Подставим в это соотношение формулы для $g_h$ и $g_0$: $G \frac{M}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{16} \left( G \frac{M}{R_З^2} \right)$.

Сократим общие множители $\text{G}$ и $\text{M}$ в обеих частях уравнения: $\frac{1}{(R_З + h)^2} = \frac{1}{16 R_З^2}$.

Отсюда следует, что знаменатели дробей равны: $(R_З + h)^2 = 16 R_З^2$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как расстояние является положительной величиной, мы рассматриваем только положительные корни: $\sqrt{(R_З + h)^2} = \sqrt{16 R_З^2}$ $R_З + h = 4 R_З$.

Выразим искомую высоту $\text{h}$: $h = 4 R_З - R_З$ $h = 3 R_З$.

Таким образом, искомая высота равна трем радиусам Земли. Примем средний радиус Земли равным 6400 км: $h = 3 \times 6400 \text{ км} = 19200 \text{ км}$.

Ответ: высота, на которой ускорение свободного падения в 16 раз меньше, чем на поверхности Земли, равна трем радиусам Земли, что составляет примерно 19200 км.