Номер 220, страница 136 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 220, страница 136.

Условие.

220. Масса некоторой планеты в 8 раз больше массы Земли, а радиус в 2 раза больше радиуса Земли. Найдите отношение ускорения свободного падения у поверхности планеты к ускорению свободного падения у поверхности Земли.

Решение.

Дано:

$M_п = 8 M_З$

$R_п = 2 R_З$

где $M_п$ и $R_п$ — масса и радиус планеты, а $M_З$ и $R_З$ — масса и радиус Земли. Данные представлены в относительных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Отношение ускорений свободного падения $\frac{g_п}{g_З}$.

Решение:

Ускорение свободного падения $\text{g}$ на поверхности сферического небесного тела определяется формулой, которая является следствием закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона:

$g = G \frac{M}{R^2}$

где $\text{G}$ — гравитационная постоянная, $\text{M}$ — масса небесного тела, а $\text{R}$ — его радиус.

Запишем эту формулу для ускорения свободного падения на поверхности Земли ($g_З$) и на поверхности планеты ($g_п$).

Для Земли:

$g_З = G \frac{M_З}{R_З^2}$

Для планеты:

$g_п = G \frac{M_п}{R_п^2}$

Теперь подставим в формулу для $g_п$ значения массы и радиуса планеты, выраженные через массу и радиус Земли, согласно условию задачи:

$M_п = 8 M_З$

$R_п = 2 R_З$

Получаем:

$g_п = G \frac{8 M_З}{(2 R_З)^2} = G \frac{8 M_З}{4 R_З^2} = 2 \cdot G \frac{M_З}{R_З^2}$

Заметим, что выражение $G \frac{M_З}{R_З^2}$ в правой части равенства — это формула для ускорения свободного падения на Земле, $g_З$. Следовательно, мы можем переписать выражение для $g_п$ как:

$g_п = 2 \cdot g_З$

Теперь найдем искомое отношение ускорения свободного падения на планете к ускорению свободного падения на Земле, разделив обе части последнего равенства на $g_З$:

$\frac{g_п}{g_З} = \frac{2 \cdot g_З}{g_З} = 2$

Ответ: 2.