Номер 214, страница 136 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон всемирного тяготения - номер 214, страница 136.

Условие.

214. Какой должна быть масса каждого из двух одинаковых тел, чтобы на расстоянии 1 км они притягивались с силой 1 Н?

Решение.

Дано:

Сила притяжения, $F = 1$ Н

Расстояние между телами, $r = 1$ км

Массы тел одинаковы, $m_1 = m_2 = m$

Гравитационная постоянная, $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$

Перевод в систему СИ:

$r = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 10^3 \text{ м}$

Найти:

Массу каждого тела, $\text{m}$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом всемирного тяготения Ньютона, который описывает силу гравитационного притяжения между двумя материальными точками:

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

В условии задачи сказано, что массы тел одинаковы, следовательно, $m_1 = m_2 = m$. Подставим это равенство в формулу закона всемирного тяготения:

$F = G \frac{m \cdot m}{r^2} = G \frac{m^2}{r^2}$

Теперь из полученного выражения нам необходимо найти массу $\text{m}$. Для этого сначала выразим $m^2$:

$m^2 = \frac{F \cdot r^2}{G}$

Чтобы найти массу $\text{m}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$m = \sqrt{\frac{F \cdot r^2}{G}}$

Подставим числовые значения из условия, предварительно переведенные в систему СИ, в полученную формулу:

$m = \sqrt{\frac{1 \text{ Н} \cdot (10^3 \text{ м})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}}}$

Выполним вычисления:

$m = \sqrt{\frac{10^6}{6,67 \cdot 10^{-11}}} \text{ кг}$

$m = \sqrt{\frac{1}{6,67} \cdot 10^{6 - (-11)}} \text{ кг} \approx \sqrt{0,1499 \cdot 10^{17}} \text{ кг}$

Для удобства извлечения корня представим число под ним в стандартном виде с четной степенью десятки:

$m \approx \sqrt{1,499 \cdot 10^{16}} \text{ кг} = \sqrt{1,499} \cdot \sqrt{10^{16}} \text{ кг}$

$m \approx 1,224 \cdot 10^8 \text{ кг}$

Округлим результат до трех значащих цифр, так как гравитационная постоянная дана с такой же точностью.

$m \approx 1,22 \cdot 10^8 \text{ кг}$

Это значение массы эквивалентно 122 000 тонн.

Ответ: масса каждого из двух одинаковых тел должна быть примерно $1,22 \cdot 10^8$ кг.