Номер 207, страница 135 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 207, страница 135.

Условие.

207. На наклонной плоскости с углом наклона $30^\circ$ к горизонту бросают мяч под углом $60^\circ$ к наклонной плоскости. С какой скоростью надо бросить мяч, чтобы он попал в цель, расположенную на расстоянии 10 м от точки бросания?

Решение.

Дано:

Угол наклона плоскости к горизонту: $\alpha = 30°$

Угол бросания мяча к наклонной плоскости: $\beta = 60°$

Дальность полета по наклонной плоскости: $L = 10 \text{ м}$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Начальную скорость мяча $v_0$.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью. Направим ось $Ox$ вверх вдоль наклонной плоскости, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Начало координат поместим в точку бросания.

В этой системе координат проекции ускорения свободного падения $\vec{g}$ на оси будут:

$a_x = -g \sin\alpha$

$a_y = -g \cos\alpha$

Проекции начальной скорости $v_0$ на оси:

$v_{0x} = v_0 \cos\beta$

$v_{0y} = v_0 \sin\beta$

Запишем уравнения движения мяча по осям $Ox$ и $Oy$:

$x(t) = v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2} = v_0 \cos\beta \cdot t - \frac{g \sin\alpha \cdot t^2}{2}$

$y(t) = v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = v_0 \sin\beta \cdot t - \frac{g \cos\alpha \cdot t^2}{2}$

Мяч попадет в цель, расположенную на наклонной плоскости. Это означает, что в момент времени $t = T$ (время полета), координата мяча $y(T)$ будет равна нулю.

$y(T) = v_0 \sin\beta \cdot T - \frac{g \cos\alpha \cdot T^2}{2} = 0$

Так как $T > 0$, мы можем разделить уравнение на $\text{T}$ и найти время полета:

$v_0 \sin\beta - \frac{g \cos\alpha \cdot T}{2} = 0$

$T = \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \cos\alpha}$

Дальность полета $\text{L}$ — это координата $\text{x}$ в момент времени $\text{T}$.

$L = x(T) = v_0 \cos\beta \cdot T - \frac{g \sin\alpha \cdot T^2}{2}$

Подставим в это выражение найденное время полета $\text{T}$:

$L = v_0 \cos\beta \left( \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \cos\alpha} \right) - \frac{g \sin\alpha}{2} \left( \frac{2 v_0 \sin\beta}{g \cos\alpha} \right)^2$

$L = \frac{2 v_0^2 \sin\beta \cos\beta}{g \cos\alpha} - \frac{2 v_0^2 \sin\alpha \sin^2\beta}{g \cos^2\alpha}$

Вынесем общий множитель за скобки:

$L = \frac{2 v_0^2 \sin\beta}{g \cos^2\alpha} (\cos\beta \cos\alpha - \sin\beta \sin\alpha)$

Используя тригонометрическую формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$, получаем формулу для дальности полета по наклонной плоскости:

$L = \frac{2 v_0^2 \sin\beta \cos(\alpha+\beta)}{g \cos^2\alpha}$

Теперь подставим в полученную формулу значения углов из условия задачи: $\alpha = 30°$ и $\beta = 60°$.

Найдем сумму углов: $\alpha + \beta = 30° + 60° = 90°$.

Косинус этого угла равен: $\cos(90°) = 0$.

Подставим это значение в формулу для дальности:

$L = \frac{2 v_0^2 \sin(60°) \cos(90°)}{g \cos^2(30°)} = \frac{2 v_0^2 \sin(60°) \cdot 0}{g \cos^2(30°)} = 0$

Полученный результат показывает, что при заданных углах дальность полета мяча вдоль наклонной плоскости всегда равна нулю, независимо от начальной скорости $v_0$. Физически это означает, что мяч брошен вертикально вверх (угол к горизонту $\alpha + \beta = 90°$), поэтому он поднимется и упадет в ту же самую точку, из которой был брошен. Это противоречит условию задачи, согласно которому мяч должен попасть в цель на расстоянии 10 м.

Таким образом, задача в предложенной формулировке не имеет физического решения.

Ответ:

Задача не имеет решения, так как при заданных углах дальность полета мяча по наклонной плоскости равна нулю при любой начальной скорости.