Номер 203, страница 134 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Движение тела, брошенного под углом к горизонту - номер 203, страница 134.

Условие.

203. На некоторой высоте одновременно из одной точки брошены два тела под углом $45^\circ$ к вертикали с одинаковыми по модулю скоростями 20 м/с: одно – вверх, другое – вниз. Определите разность высот, на которых будут тела через 2 с.

Решение.

Дано:

Угол к вертикали, $\alpha = 45^\circ$

Начальная скорость, $v_0 = 20 \text{ м/с}$

Время, $t = 2 \text{ с}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

Разность высот, $\Delta h$

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Направим ось OY вертикально вверх, а начало координат поместим в точку броска. Разность высот тел определяется разностью их координат по оси OY. Горизонтальное движение тел на эту величину не влияет.

Проекция начальной скорости на вертикальную ось OY для обоих тел одинакова по модулю и равна:

$v_{0y} = v_0 \cos \alpha$

Для тела, брошенного вверх, начальная скорость проекции на ось OY положительна ($+v_{0y}$), а для тела, брошенного вниз, — отрицательна ($-v_{0y}$).

Запишем уравнение движения для каждого тела вдоль оси OY. Высота (координата y) тела в любой момент времени $\text{t}$ описывается уравнением:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2}$

Поскольку оба тела брошены из одной точки, их начальная координата $y_0 = 0$.

Высота первого тела (брошенного вверх) через время $\text{t}$:

$h_1 = v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = (v_0 \cos \alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Высота второго тела (брошенного вниз) через время $\text{t}$:

$h_2 = -v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} = -(v_0 \cos \alpha)t - \frac{gt^2}{2}$

Разность высот $\Delta h$ будет равна разности их координат:

$\Delta h = h_1 - h_2 = \left((v_0 \cos \alpha)t - \frac{gt^2}{2}\right) - \left(-(v_0 \cos \alpha)t - \frac{gt^2}{2}\right)$

$\Delta h = (v_0 \cos \alpha)t - \frac{gt^2}{2} + (v_0 \cos \alpha)t + \frac{gt^2}{2}$

$\Delta h = 2(v_0 \cos \alpha)t$

Как видно из формулы, разность высот не зависит от ускорения свободного падения, так как оно одинаково действует на оба тела.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta h = 2 \cdot 20 \text{ м/с} \cdot \cos(45^\circ) \cdot 2 \text{ с}$

Поскольку $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$\Delta h = 2 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 2 = 40\sqrt{2} \text{ м}$

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$\Delta h \approx 40 \cdot 1.414 = 56.56 \text{ м}$

Ответ: $40\sqrt{2}$ м (или приблизительно 56.6 м).