Номер 333, страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 333, страница 150.

Условие.

333. На кольцо намотана нить, один конец которой прикреплен к потолку. Кольцо отпускают, и оно падает, раскручивая нить. Считая, что вся масса кольца распределена по ободу, определите скорость его центра, когда кольцо пролетит расстояние 1 м.

Решение.

Дано:

h = 1 м

g ≈ 9.8 м/с² (ускорение свободного падения)

v₀ = 0 (начальная скорость)

ω₀ = 0 (начальная угловая скорость)

Найти:

v - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. В начальный момент времени, когда кольцо находится в покое на высоте $\text{h}$ над конечной точкой, его полная механическая энергия состоит только из потенциальной энергии.

$E_1 = E_p = mgh$

где $\text{m}$ - масса кольца, $\text{g}$ - ускорение свободного падения, $\text{h}$ - высота, на которую опустилось кольцо.

Когда кольцо опускается на расстояние $\text{h}$, его потенциальная энергия превращается в кинетическую. Поскольку кольцо одновременно движется поступательно (падает) и вращается (раскручивается), его полная кинетическая энергия является суммой кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.

$E_2 = E_{к.пост} + E_{к.вращ} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

где $\text{v}$ - скорость центра масс кольца, $\text{I}$ - момент инерции кольца, $\omega$ - его угловая скорость.

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$

Согласно условию, вся масса кольца распределена по ободу. Момент инерции такого кольца относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца, равен:

$I = mR^2$

где $\text{R}$ - радиус кольца.

При раскручивании нити без проскальзывания скорость центра масс $\text{v}$ связана с угловой скоростью $\omega$ соотношением:

$v = \omega R$

Отсюда можно выразить угловую скорость:

$\omega = \frac{v}{R}$

Теперь подставим выражения для $\text{I}$ и $\omega$ в уравнение закона сохранения энергии:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(mR^2)(\frac{v}{R})^2$

Упростим правую часть уравнения:

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mR^2\frac{v^2}{R^2}$

$mgh = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2$

$mgh = mv^2$

Массу $\text{m}$ можно сократить:

$gh = v^2$

Отсюда находим скорость $\text{v}$:

$v = \sqrt{gh}$

Подставим числовые значения:

$v = \sqrt{9.8 \frac{м}{с^2} \cdot 1 м} = \sqrt{9.8} \frac{м}{с} \approx 3.13 \frac{м}{с}$

Ответ: скорость центра кольца, когда оно пролетит расстояние 1 м, будет приблизительно равна $3.13$ м/с.