Номер 335, страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 335, страница 150.

Условие.

335. Шарик скользит по наклонному желобу, переходящему в вертикальную петлю радиусом 1 м. С какой высоты шарик должен начать движение, чтобы не оторваться от желоба в верхней точке петли?

Решение.

Дано:

Радиус петли $R = 1$ м

Найти:

Минимальная высота $\text{h}$ - ?

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии и вторым законом Ньютона. Предполагаем, что трение отсутствует и шарик скользит без потерь энергии.

1. Закон сохранения энергии.

Примем за нулевой уровень потенциальной энергии нижнюю точку петли. В начальный момент шарик находится на высоте $\text{h}$ и покоится, поэтому его полная механическая энергия равна потенциальной энергии:

$E_1 = mgh$

где $\text{m}$ — масса шарика, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

В верхней точке петли шарик находится на высоте $2R$ от нулевого уровня и движется со скоростью $\text{v}$. Его полная механическая энергия в этой точке складывается из кинетической и потенциальной энергий:

$E_2 = \frac{mv^2}{2} + mg(2R)$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgh = \frac{mv^2}{2} + mg(2R)$

Сокращая массу $\text{m}$, получаем:

$gh = \frac{v^2}{2} + 2gR$ (1)

2. Условие прохождения верхней точки.

В верхней точке петли на шарик действуют две силы, направленные вертикально вниз: сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Согласно второму закону Ньютона, их равнодействующая сообщает телу центростремительное ускорение $a_ц = \frac{v^2}{R}$:

$mg + N = m\frac{v^2}{R}$

Чтобы шарик не оторвался от желоба, сила реакции опоры должна быть неотрицательной: $N \ge 0$. Минимальная начальная высота $\text{h}$ соответствует минимальной скорости в верхней точке, при которой шарик еще проходит петлю. Это критическое условие достигается, когда сила реакции опоры становится равной нулю, $N=0$.

При $N=0$ уравнение сил принимает вид:

$mg = m\frac{v_{min}^2}{R}$

Отсюда находим квадрат минимальной скорости, необходимой для прохождения верхней точки:

$v_{min}^2 = gR$ (2)

3. Расчет высоты $\text{h}$.

Подставим выражение для квадрата минимальной скорости (2) в уравнение сохранения энергии (1):

$gh = \frac{gR}{2} + 2gR$

Сократим обе части уравнения на $\text{g}$:

$h = \frac{R}{2} + 2R = 2.5R$

Подставим значение радиуса $R = 1$ м:

$h = 2.5 \times 1 \text{ м} = 2.5 \text{ м}$

Это минимальная высота, с которой должен начать движение шарик, чтобы не оторваться от желоба. С любой высоты $h \ge 2.5$ м шарик успешно пройдет петлю.

Ответ: $2.5$ м.