Номер 338, страница 151 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 338, страница 151.

Условие.

338. На вершине гладкой сферы радиусом $\text{R}$ = 50 см лежит небольшое тело (см. рисунок). В некоторый момент времени телу мгновенно сообщают горизонтальную скорость 2 м/с. Пренебрегая смещением тела во время сообщения ему скорости, найдите высоту $\text{h}$ от вершины сферы до точки, в которой тело оторвется от сферы.

Решение.

Дано:

Радиус сферы, $R = 50$ см
Начальная горизонтальная скорость тела, $v_0 = 2$ м/с
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Перевод в систему СИ:
$R = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

Найти:

Высоту от вершины сферы до точки отрыва, $\text{h}$.

Решение:

Для решения данной задачи применим закон сохранения механической энергии и второй закон Ньютона.

1. Закон сохранения энергии.
Примем за нулевой уровень потенциальной энергии вершину сферы. В начальный момент времени тело обладает кинетической энергией $E_{k0} = \frac{mv_0^2}{2}$ и нулевой потенциальной энергией $E_{p0} = 0$. Полная начальная энергия системы:
$E_0 = E_{k0} + E_{p0} = \frac{mv_0^2}{2}$

В момент отрыва тело сместится по вертикали на высоту $\text{h}$ вниз от вершины. Его скорость в этот момент будет $\text{v}$. Потенциальная энергия станет равной $E_p = -mgh$, а кинетическая — $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Полная энергия в момент отрыва:
$E = E_k + E_p = \frac{mv^2}{2} - mgh$

Поскольку сфера гладкая, трение отсутствует, и полная механическая энергия сохраняется ($E_0 = E$):
$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} - mgh$
Сократим на массу $\text{m}$ и умножим на 2:
$v_0^2 = v^2 - 2gh$
Отсюда выразим квадрат скорости в момент отрыва:
$v^2 = v_0^2 + 2gh$ (1)

2. Второй закон Ньютона.
В точке отрыва на тело действуют сила тяжести $mg$ и сила нормальной реакции опоры $\text{N}$. Запишем второй закон Ньютона в проекции на радиальное направление (к центру сферы). Пусть $\alpha$ — угол между вертикалью и радиусом, проведенным в точку отрыва.
$mg \cos\alpha - N = ma_c$
где $a_c = \frac{v^2}{R}$ — центростремительное ускорение.
$mg \cos\alpha - N = \frac{mv^2}{R}$

Отрыв тела от поверхности происходит в тот момент, когда сила реакции опоры становится равной нулю ($N=0$). Таким образом, в момент отрыва:
$mg \cos\alpha = \frac{mv^2}{R}$
$v^2 = gR \cos\alpha$ (2)

3. Геометрическая связь.
Из геометрии видно, что высота $\text{h}$ и угол $\alpha$ связаны соотношением:
$h = R - R \cos\alpha = R(1 - \cos\alpha)$
Отсюда выразим $\cos\alpha = \frac{R-h}{R}$. Подставим это в уравнение (2):
$v^2 = gR \left( \frac{R-h}{R} \right) = g(R-h)$

4. Нахождение высоты $\text{h}$.
Теперь мы имеем два выражения для $v^2$ (уравнение (1) и последнее). Приравняем их правые части:
$v_0^2 + 2gh = g(R-h)$
$v_0^2 + 2gh = gR - gh$
Сгруппируем члены, содержащие $\text{h}$:
$3gh = gR - v_0^2$
Выразим искомую высоту $\text{h}$:
$h = \frac{gR - v_0^2}{3g} = \frac{R}{3} - \frac{v_0^2}{3g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$h = \frac{0.5 \text{ м}}{3} - \frac{(2 \text{ м/с})^2}{3 \times 10 \text{ м/с²}} = \frac{0.5}{3} - \frac{4}{30} = \frac{1}{6} - \frac{2}{15}$
Приводя дроби к общему знаменателю 30:
$h = \frac{5}{30} - \frac{4}{30} = \frac{1}{30} \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры: $h = \frac{1}{30} \text{ м} \approx 0.0333 \text{ м} = 3.33 \text{ см}$.

Ответ: высота от вершины сферы до точки, в которой тело оторвется от сферы, равна $\frac{1}{30}$ м, или примерно 3.3 см.