Номер 332, страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 332, страница 150.

Условие.

332. Шар налетает на покоящийся шар и после абсолютно упругого удара отскакивает в обратном направлении с вдвое меньшей скоростью. Найдите отношение масс первоначально покоившегося и двигавшегося шаров.

Решение.

Дано:

Пусть $m_1$ – масса налетающего (двигавшегося) шара.

Пусть $m_2$ – масса покоившегося шара.

Начальная скорость первого шара: $v_1$.

Начальная скорость второго шара: $v_2 = 0$.

Конечная скорость первого шара: $v'_1 = -v_1/2$ (знак «минус» указывает на движение в обратном направлении).

Столкновение является абсолютно упругим.

Найти:

Отношение масс $\frac{m_2}{m_1}$.

Решение:

Поскольку столкновение абсолютно упругое, для системы из двух шаров выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

1. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную вдоль начального движения первого шара:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v'_1 + m_2 v'_2$

Подставим известные значения в это уравнение:

$m_1 v_1 + m_2 \cdot 0 = m_1 \left(-\frac{v_1}{2}\right) + m_2 v'_2$

$m_1 v_1 = -\frac{1}{2} m_1 v_1 + m_2 v'_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $m_1 v_1$:

$m_1 v_1 + \frac{1}{2} m_1 v_1 = m_2 v'_2$

$\frac{3}{2} m_1 v_1 = m_2 v'_2 \quad (1)$

2. Запишем закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 (v'_1)^2}{2} + \frac{m_2 (v'_2)^2}{2}$

Умножим все члены уравнения на 2 и подставим известные значения:

$m_1 v_1^2 + m_2 \cdot 0^2 = m_1 \left(-\frac{v_1}{2}\right)^2 + m_2 (v'_2)^2$

$m_1 v_1^2 = m_1 \frac{v_1^2}{4} + m_2 (v'_2)^2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $m_1 v_1^2$:

$m_1 v_1^2 - \frac{1}{4} m_1 v_1^2 = m_2 (v'_2)^2$

$\frac{3}{4} m_1 v_1^2 = m_2 (v'_2)^2 \quad (2)$

3. Теперь мы имеем систему из двух уравнений (1) и (2). Чтобы найти отношение масс, решим эту систему. Для этого выразим скорость $v'_2$ из уравнения (1):

$v'_2 = \frac{3 m_1 v_1}{2 m_2}$

Подставим это выражение для $v'_2$ в уравнение (2):

$\frac{3}{4} m_1 v_1^2 = m_2 \left(\frac{3 m_1 v_1}{2 m_2}\right)^2$

$\frac{3}{4} m_1 v_1^2 = m_2 \frac{9 m_1^2 v_1^2}{4 m_2^2}$

$\frac{3}{4} m_1 v_1^2 = \frac{9 m_1^2 v_1^2}{4 m_2}$

Сократим обе части уравнения на общие множители $\frac{1}{4}$, $m_1$ и $v_1^2$ (поскольку масса и начальная скорость не равны нулю):

$3 = \frac{9 m_1}{m_2}$

Из этого выражения найдем искомое отношение $\frac{m_2}{m_1}$:

$\frac{m_2}{m_1} = \frac{9}{3}$

$\frac{m_2}{m_1} = 3$

Ответ:

Отношение массы первоначально покоившегося шара к массе двигавшегося шара равно 3.