Номер 327, страница 149 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 327, страница 149.

Условие.

327. Тележка движется со скоростью $2 \text{ м/с}$. Масса тележки $100 \text{ кг}$. Когда она проезжает мимо рабочего, тот кладет на нее ящик массой $5 \text{ кг}$. Определите выделившееся при этом количество теплоты.

Решение.

Дано:

Масса тележки, $m_1 = 100$ кг.
Начальная скорость тележки, $v_1 = 2$ м/с.
Масса ящика, $m_2 = 5$ кг.
Начальная скорость ящика, $v_2 = 0$ м/с (относительно земли).

Все данные уже находятся в системе СИ.

Найти:

Выделившееся количество теплоты, $\text{Q}$.

Решение:

Процесс помещения ящика на движущуюся тележку представляет собой неупругое соударение. Внешние горизонтальные силы, действующие на систему «тележка + ящик», отсутствуют (силой трения качения пренебрегаем), следовательно, для этой системы выполняется закон сохранения импульса в горизонтальном направлении. После взаимодействия тележка и ящик движутся как единое целое с некоторой конечной скоростью $v_f$.

Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную вдоль движения тележки:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f$

Так как ящик до взаимодействия покоился ($v_2 = 0$), уравнение упрощается:

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) v_f$

Из этого уравнения можно выразить конечную скорость системы:

$v_f = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

При неупругом соударении часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию (теплоту). Выделившееся количество теплоты $\text{Q}$ равно разности начальной и конечной кинетических энергий системы.

$Q = E_{k, \text{нач}} - E_{k, \text{кон}}$

Начальная кинетическая энергия системы (энергия покоящегося ящика равна нулю):

$E_{k, \text{нач}} = \frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы:

$E_{k, \text{кон}} = \frac{(m_1 + m_2) v_f^2}{2}$

Подставим выражение для $v_f$ в формулу для конечной кинетической энергии:

$E_{k, \text{кон}} = \frac{(m_1 + m_2)}{2} \left( \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{(m_1 + m_2) m_1^2 v_1^2}{2 (m_1 + m_2)^2} = \frac{m_1^2 v_1^2}{2 (m_1 + m_2)}$

Теперь найдем количество выделившейся теплоты:

$Q = \frac{m_1 v_1^2}{2} - \frac{m_1^2 v_1^2}{2 (m_1 + m_2)} = \frac{m_1 v_1^2}{2} \left( 1 - \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right)$

$Q = \frac{m_1 v_1^2}{2} \left( \frac{m_1 + m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) = \frac{m_1 v_1^2}{2} \frac{m_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 m_2 v_1^2}{2(m_1 + m_2)}$

Подставим числовые значения из условия задачи в полученную формулу:

$Q = \frac{100 \text{ кг} \cdot 5 \text{ кг} \cdot (2 \text{ м/с})^2}{2(100 \text{ кг} + 5 \text{ кг})} = \frac{500 \cdot 4}{2 \cdot 105} = \frac{2000}{210} = \frac{200}{21} \approx 9.52 \text{ Дж}$

Ответ: выделившееся при этом количество теплоты составляет примерно 9.52 Дж.