Номер 331, страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 331, страница 150.

Условие.

331. Вагон, движущийся с некоторой скоростью, сталкивается с другим таким же вагоном, ранее неподвижным. Далее они движутся как одно целое. Какая часть кинетической энергии первого вагона переходит во внутреннюю энергию системы из двух вагонов?

Решение.

Дано:

Масса первого вагона - $m_1 = m$
Начальная скорость первого вагона - $v_1$
Масса второго вагона - $m_2 = m$
Начальная скорость второго вагона - $v_2 = 0$
Столкновение является абсолютно неупругим.

Найти:

Отношение энергии, перешедшей во внутреннюю, к начальной кинетической энергии первого вагона: $\frac{\Delta Q}{E_{k1}}$?

Решение:

Столкновение вагонов, после которого они движутся как одно целое, является абсолютно неупругим. Для такого типа столкновений выполняется закон сохранения импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию (например, в тепло).

1. Применим закон сохранения импульса для системы из двух вагонов. Направим ось координат по направлению движения первого вагона.

Суммарный импульс системы до столкновения равен импульсу первого вагона, так как второй вагон неподвижен:
$P_{до} = m_1 v_1 + m_2 v_2 = m v_1 + m \cdot 0 = m v_1$

После столкновения вагоны сцепляются и движутся вместе с общей скоростью $\text{u}$. Их суммарная масса становится $m_1 + m_2 = 2m$.
Суммарный импульс системы после столкновения:
$P_{после} = (m_1 + m_2) u = 2m u$

Согласно закону сохранения импульса $P_{до} = P_{после}$:
$m v_1 = 2m u$
Из этого уравнения выразим скорость вагонов после столкновения:
$u = \frac{m v_1}{2m} = \frac{v_1}{2}$

2. Теперь рассчитаем кинетическую энергию системы до и после столкновения.

Начальная кинетическая энергия системы $E_{k, нач}$ равна кинетической энергии первого вагона $E_{k1}$:
$E_{k, нач} = E_{k1} = \frac{m_1 v_1^2}{2} = \frac{m v_1^2}{2}$

Конечная кинетическая энергия системы $E_{k, кон}$ (после сцепки):
$E_{k, кон} = \frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = \frac{2m u^2}{2} = m u^2$
Подставим найденное значение скорости $u = \frac{v_1}{2}$:
$E_{k, кон} = m \left(\frac{v_1}{2}\right)^2 = m \frac{v_1^2}{4} = \frac{m v_1^2}{4}$

3. Энергия, перешедшая во внутреннюю $\Delta Q$, равна разности начальной и конечной кинетической энергии системы:

$\Delta Q = E_{k, нач} - E_{k, кон} = \frac{m v_1^2}{2} - \frac{m v_1^2}{4} = \frac{2m v_1^2 - m v_1^2}{4} = \frac{m v_1^2}{4}$

4. Найдем, какую часть начальной кинетической энергии первого вагона составляет эта величина:

$\frac{\Delta Q}{E_{k1}} = \frac{\frac{m v_1^2}{4}}{\frac{m v_1^2}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Таким образом, половина начальной кинетической энергии первого вагона перешла во внутреннюю энергию системы.

Ответ: во внутреннюю энергию системы переходит $1/2$ (или 50%) начальной кинетической энергии первого вагона.