Номер 334, страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 334, страница 150.

Условие.

334. Найдите скорости двух шаров после прямого абсолютно упругого удара. Массы шаров 100 г и 200 г, скорости до удара 3 м/с и 1 м/с соответственно.

Решение.

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г}$

$m_2 = 200 \text{ г}$

$v_1 = 3 \text{ м/с}$

$v_2 = 1 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 0.2 \text{ кг}$

Найти:

$u_1$ — скорость первого шара после удара

$u_2$ — скорость второго шара после удара

Решение:

Поскольку удар является абсолютно упругим, для системы, состоящей из двух шаров, одновременно выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии. Удар прямой, поэтому движение происходит вдоль одной прямой. Направим ось $OX$ в сторону начального движения шаров. Тогда скорости $v_1$ и $v_2$ будут положительными.

Закон сохранения импульса в проекции на ось $OX$:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 u_2$

Закон сохранения кинетической энергии:

$\frac{m_1 v_1^2}{2} + \frac{m_2 v_2^2}{2} = \frac{m_1 u_1^2}{2} + \frac{m_2 u_2^2}{2}$

Решим эту систему уравнений относительно неизвестных скоростей $u_1$ и $u_2$. Для этого преобразуем уравнения, перенеся члены, относящиеся к одному телу, в одну сторону:

$m_1 (v_1 - u_1) = m_2 (u_2 - v_2) \quad (1)$

$m_1 (v_1^2 - u_1^2) = m_2 (u_2^2 - v_2^2)$

Разложим второе уравнение на множители, используя формулу разности квадратов:

$m_1 (v_1 - u_1)(v_1 + u_1) = m_2 (u_2 - v_2)(u_2 + v_2) \quad (2)$

Теперь разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$v_1 + u_1 = v_2 + u_2$

Из этого соотношения можно выразить одну искомую скорость через другую, например, $u_2$:

$u_2 = v_1 - v_2 + u_1$

Подставим это выражение для $u_2$ в закон сохранения импульса:

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 (v_1 - v_2 + u_1)$

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 u_1 + m_2 v_1 - m_2 v_2 + m_2 u_1$

Сгруппируем члены, чтобы выразить $u_1$:

$v_1 (m_1 - m_2) + 2m_2 v_2 = u_1 (m_1 + m_2)$

$u_1 = \frac{(m_1 - m_2)v_1 + 2m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Аналогично можно найти формулу для $u_2$:

$u_2 = \frac{(m_2 - m_1)v_2 + 2m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи в систему СИ:

$u_1 = \frac{(0.1 - 0.2) \cdot 3 + 2 \cdot 0.2 \cdot 1}{0.1 + 0.2} = \frac{-0.1 \cdot 3 + 0.4}{0.3} = \frac{-0.3 + 0.4}{0.3} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3} \text{ м/с}$

$u_2 = \frac{(0.2 - 0.1) \cdot 1 + 2 \cdot 0.1 \cdot 3}{0.1 + 0.2} = \frac{0.1 \cdot 1 + 0.6}{0.3} = \frac{0.1 + 0.6}{0.3} = \frac{0.7}{0.3} = \frac{7}{3} \text{ м/с}$

Таким образом, после столкновения первый, более легкий шар, замедлится, а второй, более тяжелый, ускорится.

Ответ: скорость первого шара после удара $u_1 = \frac{1}{3} \text{ м/с}$ (приблизительно $0.33 \text{ м/с}$), скорость второго шара $u_2 = \frac{7}{3} \text{ м/с}$ (приблизительно $2.33 \text{ м/с}$).