Номер 339, страница 151 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 339, страница 151.

Условие.

339. Шар массой 500 г висит на нити. Расстояние от центра шара до точки подвеса нити 1 м. Горизонтально летящая пуля массой 10 г простреливает шар по центру и вылетает из него со скоростью 10 м/с. Шар после вылета пули совершает оборот вокруг точки подвеса нити. Сила натяжения нити в верхней точке равна нулю. Найдите скорость пули до попадания в шар.

Решение.

Дано:

Масса шара, $M = 500$ г

Масса пули, $m = 10$ г

Расстояние от центра шара до точки подвеса (длина нити), $L = 1$ м

Скорость пули после вылета из шара, $v_2 = 10$ м/с

Сила натяжения нити в верхней точке траектории, $T_{в} = 0$ Н

Ускорение свободного падения, $g = 9.8$ м/с$^2$

Перевод в систему СИ:
$M = 500 \cdot 10^{-3}$ кг $= 0.5$ кг
$m = 10 \cdot 10^{-3}$ кг $= 0.01$ кг

Найти:

Скорость пули до попадания в шар, $v_1$.

Решение:

Задачу можно разделить на два этапа: 1) движение шара по окружности после удара и 2) сам удар (столкновение пули с шаром).

1. Сначала найдем скорость шара $\text{U}$ сразу после того, как из него вылетела пуля. Для этого рассмотрим движение шара по окружности. Шар совершает полный оборот, что означает, что он достигает верхней точки траектории. Запишем второй закон Ньютона для шара в верхней точке траектории. На шар действуют сила тяжести $Mg$ и сила натяжения нити $T_{в}$, обе направлены вертикально вниз к центру окружности. Их сумма сообщает шару центростремительное ускорение:

$Mg + T_{в} = \frac{M v_{в}^2}{L}$

где $v_{в}$ – скорость шара в верхней точке. По условию, в верхней точке сила натяжения равна нулю, $T_{в} = 0$. Следовательно:

$Mg = \frac{M v_{в}^2}{L}$

Отсюда находим квадрат скорости в верхней точке:

$v_{в}^2 = gL$

Теперь воспользуемся законом сохранения механической энергии для шара, чтобы найти его скорость $\text{U}$ в нижней точке траектории (сразу после удара). За нулевой уровень потенциальной энергии примем положение центра шара в нижней точке.

Энергия в нижней точке: $E_{н} = \frac{MU^2}{2}$

В верхней точке шар поднимется на высоту $h = 2L$. Его энергия будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий: $E_{в} = \frac{Mv_{в}^2}{2} + Mg(2L)$

По закону сохранения энергии $E_{н} = E_{в}$:

$\frac{MU^2}{2} = \frac{Mv_{в}^2}{2} + 2MgL$

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение для $v_{в}^2 = gL$:

$\frac{MU^2}{2} = \frac{MgL}{2} + 2MgL = \frac{5}{2}MgL$

Отсюда находим скорость шара $\text{U}$ сразу после удара:

$U^2 = 5gL \implies U = \sqrt{5gL}$

Вычислим численное значение скорости $\text{U}$:

$U = \sqrt{5 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ м}} = \sqrt{49 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 7$ м/с.

2. Теперь рассмотрим процесс столкновения пули с шаром. Так как время взаимодействия очень мало, систему «пуля + шар» можно считать замкнутой в горизонтальном направлении. Для нее выполняется закон сохранения импульса.

Импульс системы до столкновения (шар покоится, движется только пуля): $p_{до} = m v_1$

Импульс системы после столкновения (пуля и шар движутся в одном направлении): $p_{после} = m v_2 + M U$

Приравниваем импульсы до и после взаимодействия:

$m v_1 = m v_2 + M U$

Выразим начальную скорость пули $v_1$:

$v_1 = \frac{m v_2 + M U}{m} = v_2 + \frac{M}{m} U$

Подставим числовые значения:

$v_1 = 10 \text{ м/с} + \frac{0.5 \text{ кг}}{0.01 \text{ кг}} \cdot 7 \text{ м/с} = 10 \text{ м/с} + 50 \cdot 7 \text{ м/с} = 10 \text{ м/с} + 350 \text{ м/с} = 360 \text{ м/с}$

Ответ: скорость пули до попадания в шар равна 360 м/с.