Номер 336, страница 151 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 336, страница 151.

Условие.

336. Шар, изготовленный из материала плотностью $400 \text{ кг}/\text{м}^3$, падает в воду с высоты 9 см. На какую глубину погрузится шарик? Потерями энергии при ударе о воду и сопротивлением воздуха и воды пренебречь.

Решение.

Дано:

Плотность материала шара $\rho_ш = 400 \text{ кг/м}^3$

Высота падения $h = 9 \text{ см}$

Плотность воды (табличное значение) $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Перевод в СИ:

$h = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$

Найти:

Глубину погружения шарика $\text{H}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения и превращения энергии. Поскольку потерями энергии при ударе о воду, а также сопротивлением воздуха и воды пренебрегают, вся потенциальная энергия, которой обладал шарик на высоте $\text{h}$ над водой, будет израсходована на работу по его погружению в воду до полной остановки на глубине $\text{H}$.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение шарика, то есть его положение на глубине $\text{H}$.

В начальный момент времени шарик покоится на высоте $(h+H)$ относительно нулевого уровня. Его полная механическая энергия $E_1$ равна его потенциальной энергии:

$E_1 = E_п = mg(h+H)$

где $\text{m}$ – масса шарика, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Когда шарик погрузится на максимальную глубину $\text{H}$, его скорость станет равной нулю. В этой точке его потенциальная и кинетическая энергии равны нулю, следовательно, его полная механическая энергия $E_2$ также равна нулю ($E_2=0$).

Изменение механической энергии системы происходит за счет работы неконсервативной силы – выталкивающей силы Архимеда $F_A$, которая действует на шарик, когда он находится в воде. Работа силы Архимеда при погружении на глубину $\text{H}$ отрицательна, так как сила направлена вверх, а перемещение — вниз:

$A_A = -F_A \cdot H = -\rho_в g V H$

где $\rho_в$ – плотность воды, а $\text{V}$ – объем шарика.

Согласно теореме об изменении полной механической энергии:

$\Delta E = E_2 - E_1 = A_A$

$0 - mg(h+H) = -\rho_в g V H$

Массу шарика $\text{m}$ можно выразить через его плотность $\rho_ш$ и объем $\text{V}$: $m = \rho_ш V$. Подставим это в уравнение:

$\rho_ш V g (h+H) = \rho_в g V H$

Сократим обе части уравнения на $gV$ (поскольку $g \ne 0$ и $V \ne 0$):

$\rho_ш (h+H) = \rho_в H$

Раскроем скобки и выразим искомую глубину $\text{H}$:

$\rho_ш h + \rho_ш H = \rho_в H$

$\rho_ш h = \rho_в H - \rho_ш H$

$\rho_ш h = H(\rho_в - \rho_ш)$

$H = \frac{\rho_ш h}{\rho_в - \rho_ш}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$H = \frac{400 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.09 \text{ м}}{1000 \text{ кг/м}^3 - 400 \text{ кг/м}^3} = \frac{36}{600} \text{ м} = 0.06 \text{ м}$

Переведем метры в сантиметры: $0.06 \text{ м} = 6 \text{ см}$.

Ответ: шарик погрузится на глубину 6 см.