Номер 337, страница 151 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 337, страница 151.

Условие.

337. Два шарика, массы которых $m_1 = 100 \text{ г}$ и $m_2 = 300 \text{ г}$, подвешены на одинаковых нитях длиной $50 \text{ см}$ (см. рисунок). Первый шарик отклоняют от положения равновесия на угол $90^{\circ}$ и отпускают. На какую высоту поднимутся шарики после абсолютно неупругого удара?

Решение.

Дано:

$m_1 = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

$m_2 = 300 \text{ г} = 0.3 \text{ кг}$

$L = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$

$\alpha = 90^\circ$

Найти:

$h - ?$

Решение:

Решение задачи можно разделить на три основных этапа:
1. Движение первого шарика до столкновения.
2. Абсолютно неупругое столкновение двух шариков.
3. Совместное движение шариков после столкновения.

1. Когда первый шарик отклоняют на угол $90^\circ$, он поднимается на высоту, равную длине нити $\text{L}$, относительно своего положения равновесия. При его движении вниз к положению равновесия его потенциальная энергия полностью переходит в кинетическую. Воспользуемся законом сохранения механической энергии, чтобы найти скорость шарика $v_1$ непосредственно перед ударом:

$E_p = E_k$

$m_1 g L = \frac{m_1 v_1^2}{2}$

Отсюда скорость $v_1$ равна:

$v_1 = \sqrt{2gL}$

2. Происходит абсолютно неупругий удар, при котором шарики слипаются и продолжают движение как единое целое с общей скоростью $\text{u}$. Для момента столкновения применим закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось. До удара второй шарик покоился ($v_2 = 0$).

$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

$m_1 v_1 = (m_1 + m_2) u$

Выразим общую скорость $\text{u}$ после столкновения:

$u = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2}$

3. После столкновения два шарика, движущиеся вместе, поднимаются на высоту $\text{h}$. Их кинетическая энергия переходит в потенциальную. Снова применим закон сохранения механической энергии для системы из двух шариков:

$\frac{(m_1 + m_2) u^2}{2} = (m_1 + m_2) g h$

Из этого уравнения выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{u^2}{2g}$

Теперь подставим в эту формулу выражение для скорости $\text{u}$, найденное на втором этапе, и выражение для скорости $v_1$ из первого этапа:

$h = \frac{1}{2g} \left( \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = \frac{1}{2g} \left( \frac{m_1 \sqrt{2gL}}{m_1 + m_2} \right)^2$

$h = \frac{1}{2g} \cdot \frac{m_1^2 (2gL)}{(m_1 + m_2)^2} = \frac{m_1^2 L}{(m_1 + m_2)^2}$

Получили итоговую формулу для расчета высоты. Подставим в нее числовые значения из условия задачи:

$h = L \left( \frac{m_1}{m_1 + m_2} \right)^2 = 0.5 \cdot \left( \frac{0.1}{0.1 + 0.3} \right)^2 = 0.5 \cdot \left( \frac{0.1}{0.4} \right)^2 = 0.5 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 0.5 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32} \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры:

$h = \frac{1}{32} \text{ м} = 0.03125 \text{ м} = 3.125 \text{ см}$

Ответ: шарики поднимутся на высоту $3.125$ см.