Номер 330, страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 330, страница 150.

Условие.

330. Маятник с грузом массой 0,2 кг отводят в горизонтальное положение и отпускают. Определите силу натяжения нити в момент прохождения грузом положения равновесия.

Решение.

Дано:

Масса груза: $m = 0,2$ кг

Начальное положение: горизонтальное (угол отклонения $90^{\circ}$)

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \frac{м}{с^2}$

Найти:

Силу натяжения нити в положении равновесия $\text{T}$.

Решение:

Для решения задачи используем закон сохранения энергии и второй закон Ньютона.

1. Найдем скорость груза в положении равновесия, используя закон сохранения механической энергии. Примем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение маятника (положение равновесия).

В начальном, горизонтальном положении, маятник поднят на высоту $h_1 = L$, где $\text{L}$ – длина нити. Начальная скорость груза $v_1 = 0$. Полная механическая энергия в этот момент равна потенциальной энергии:

$E_1 = E_{p1} = mgh_1 = mgL$

В момент прохождения положения равновесия высота груза $h_2 = 0$, поэтому его потенциальная энергия равна нулю. Скорость груза в этой точке максимальна и равна $v_2$. Полная механическая энергия в этот момент равна кинетической энергии:

$E_2 = E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2}$

По закону сохранения энергии $E_1 = E_2$:

$mgL = \frac{mv_2^2}{2}$

Из этого уравнения выразим квадрат скорости в положении равновесия:

$v_2^2 = 2gL$

2. Теперь рассмотрим силы, действующие на груз в положении равновесия. В этой точке на груз действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вниз, и сила натяжения нити $\text{T}$, направленная вверх, к точке подвеса.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая этих сил сообщает телу центростремительное ускорение $a_c$, направленное к центру окружности (то есть вверх):

$\vec{T} + m\vec{g} = m\vec{a}_c$

В проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T - mg = ma_c$

Центростремительное ускорение определяется формулой $a_c = \frac{v_2^2}{L}$. Подставим это выражение в уравнение:

$T - mg = m\frac{v_2^2}{L}$

Теперь подставим найденное из закона сохранения энергии выражение для $v_2^2 = 2gL$:

$T - mg = m\frac{2gL}{L}$

$T - mg = 2mg$

Отсюда находим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = 2mg + mg = 3mg$

Как видим, результат не зависит от длины маятника. Подставим числовые значения:

$T = 3 \cdot 0,2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 6 \text{ Н}$

Ответ:

Сила натяжения нити в момент прохождения грузом положения равновесия равна 6 Н.