Номер 329, страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

9 класс. Закон сохранения и превращения механической энергии - номер 329, страница 150.

Условие.

329. Груз массой $m = 0,2 \text{ кг}$ привязан к нити длиной $l = 1 \text{ м}$ (см. рисунок). Нить с грузом отвели на угол $60^\circ$. Чему равна кинетическая энергия груза при прохождении им положения равновесия?

Решение.

Дано:

$m = 0,2$ кг

$l = 1$ м

$\alpha = 60^\circ$

$g \approx 10$ м/с²

Найти:

$E_к$ — кинетическая энергия груза в положении равновесия.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения полной механической энергии. В системе действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Сила тяжести является консервативной, а работа силы натяжения нити равна нулю, так как она в любой момент времени перпендикулярна вектору скорости груза. Сопротивление воздуха не учитываем. Следовательно, полная механическая энергия системы (груз-Земля) сохраняется.

Полная механическая энергия $\text{E}$ представляет собой сумму кинетической ($E_к$) и потенциальной ($E_п$) энергий: $E = E_к + E_п$.

За нулевой уровень потенциальной энергии примем самое нижнее положение груза (положение равновесия).

В начальном положении (в точке максимального отклонения) груз удерживают на высоте $\text{h}$ относительно положения равновесия. Его скорость в этот момент равна нулю, поэтому начальная кинетическая энергия $E_{к1} = 0$.

Потенциальная энергия в начальном положении определяется высотой $\text{h}$: $E_{п1} = mgh$.

Из рисунка видно, что высоту $\text{h}$ можно определить с помощью тригонометрии. Если длина нити равна $\text{l}$, то $h = l - l \cos\alpha = l(1 - \cos\alpha)$.

Таким образом, полная механическая энергия системы в начальный момент времени равна:

$E_1 = E_{к1} + E_{п1} = 0 + mgl(1 - \cos\alpha) = mgl(1 - \cos\alpha)$.

Когда груз проходит положение равновесия, его высота над нулевым уровнем равна нулю ($h=0$), следовательно, его потенциальная энергия $E_{п2} = 0$. В этой точке скорость груза максимальна, а значит, и кинетическая энергия $E_{к2}$ максимальна.

Полная механическая энергия в положении равновесия:

$E_2 = E_{к2} + E_{п2} = E_{к2} + 0 = E_{к2}$.

По закону сохранения энергии, полная энергия в начальном и конечном состояниях равна: $E_1 = E_2$.

$mgl(1 - \cos\alpha) = E_{к2}$.

Теперь подставим известные значения в формулу. Учитывая, что $\cos(60^\circ) = 0,5$:

$E_{к2} = 0,2 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 1 \text{ м} \cdot (1 - 0,5)$

$E_{к2} = 2 \text{ Н} \cdot 1 \text{ м} \cdot 0,5 = 2 \cdot 0,5 \text{ Дж} = 1 \text{ Дж}$.

Ответ: кинетическая энергия груза при прохождении им положения равновесия равна $\text{1}$ Дж.