Номер 514, страница 61 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Перышкин

7 класс. Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. 21. Действие жидкости и газа на погружённое в них тело. Архимедова сила. Закон Архимеда. Плавание тел. Воздухоплавание - номер 514, страница 61.

Решение.

Дано:

Масса пробкового спасательного круга $m_к = 12$ кг

Плотность пробки $\rho_к = 240$ кг/м³

Плотность речной воды $\rho_в \approx 1000$ кг/м³ (табличное значение для пресной воды)

Найти:

$m_г$ — массу груза

Решение:

Чтобы спасательный круг с грузом удерживался в воде, суммарная сила тяжести круга и груза должна уравновешиваться выталкивающей силой (силой Архимеда). Максимальная масса груза, которую может удержать круг, соответствует случаю, когда круг полностью погружен в воду, так как в этом положении выталкивающая сила максимальна.

Условие плавания (равновесия сил) в этом предельном случае записывается как:

$F_A = P_{общ}$

где $F_A$ — сила Архимеда, а $P_{общ}$ — суммарная сила тяжести круга и груза.

Суммарная сила тяжести равна:

$P_{общ} = P_к + P_г = m_к \cdot g + m_г \cdot g = (m_к + m_г) \cdot g$

Сила Архимеда, действующая на полностью погруженное тело, равна весу вытесненной им жидкости:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_к$

где $V_к$ — объем спасательного круга. Объем круга можно найти через его массу и плотность:

$V_к = \frac{m_к}{\rho_к}$

Подставим все выражения в уравнение равновесия:

$\rho_в \cdot g \cdot \frac{m_к}{\rho_к} = (m_к + m_г) \cdot g$

Можно сократить ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_в \cdot \frac{m_к}{\rho_к} = m_к + m_г$

Выразим массу груза $m_г$:

$m_г = \frac{\rho_в \cdot m_к}{\rho_к} - m_к = m_к \left( \frac{\rho_в}{\rho_к} - 1 \right)$

Подставим числовые значения и вычислим:

$m_г = 12 \text{ кг} \cdot \left( \frac{1000 \text{ кг/м³}}{240 \text{ кг/м³}} - 1 \right) = 12 \cdot \left( \frac{100}{24} - 1 \right) = 12 \cdot \left( \frac{25}{6} - \frac{6}{6} \right) = 12 \cdot \frac{19}{6} = 2 \cdot 19 = 38 \text{ кг}$

Ответ: пробковый спасательный круг может удержать в речной воде груз массой 38 кг.