Страница 171 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

1. Как изменится глубина погружения лодки, если в неё сядут ещё два человека? Ответ объясните.

Когда в лодку садятся ещё два человека, её общая масса увеличивается. Соответственно, увеличивается и общая сила тяжести $F_{тяж}$, действующая на лодку с людьми, так как $F_{тяж} = m_{общ} \cdot g$. Лодка плавает на поверхности воды, а это значит, что действующая на неё сила тяжести уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_{А}$. Согласно условию плавания тел, $F_{А} = F_{тяж}$. Поскольку сила тяжести возросла, для того чтобы лодка продолжала плавать, выталкивающая сила также должна увеличиться, чтобы скомпенсировать возросший вес. Величина выталкивающей силы определяется по закону Архимеда: $F_{А} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{п.ч.}$, где $\rho_{воды}$ — это плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{п.ч.}$ — объём погружённой в воду части лодки. Так как плотность воды $\rho_{воды}$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами, увеличение выталкивающей силы $F_{А}$ может произойти только за счёт увеличения объёма погружённой части лодки $V_{п.ч.}$. Увеличение объёма погружённой части означает, что лодка осядет глубже в воду. Таким образом, глубина погружения лодки увеличится.

Ответ: Глубина погружения лодки увеличится.

2. Сила тяжести, действующая на лодку, 50 000 кН. Какой объём воды вытесняет эта лодка?

Дано:

Сила тяжести, действующая на лодку, $F_т = 50 000$ кН.
Плотность воды $\rho_в \approx 1000$ кг/м³.
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ Н/кг.

$F_т = 50 000 \text{ кН} = 50 000 \times 1000 \text{ Н} = 50 000 000 \text{ Н} = 5 \times 10^7 \text{ Н}$.

Найти:

Объём вытесненной воды $V_в$ - ?

Решение:

Согласно условию, лодка находится на плаву. Это означает, что сила тяжести, действующая на лодку и направленная вертикально вниз, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на лодку со стороны воды и направленной вертикально вверх.

Условие плавания тела можно записать в виде равенства: $F_т = F_А$ где $F_т$ — сила тяжести, а $F_А$ — сила Архимеда.

Сила Архимеда, по определению, равна весу жидкости в объёме, вытесненном телом, и рассчитывается по формуле: $F_А = \rho_в \cdot g \cdot V_в$ где $\rho_в$ — плотность жидкости (в данном случае воды), $g$ — ускорение свободного падения, а $V_в$ — объём вытесненной воды (т.е. объём погружённой части лодки).

Приравнивая выражения для силы тяжести и силы Архимеда, получаем: $F_т = \rho_в \cdot g \cdot V_в$

Из этого соотношения выразим искомый объём вытесненной воды $V_в$: $V_в = \frac{F_т}{\rho_в \cdot g}$

Подставим в формулу числовые значения, предварительно переведя силу тяжести в систему СИ (Ньютоны): $F_т = 50 000 \text{ кН} = 5 \times 10^7 \text{ Н}$. Примем плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м³ и ускорение свободного падения $g = 10$ Н/кг.

$V_в = \frac{50 000 000 \text{ Н}}{1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг}} = \frac{50 000 000}{10 000} \text{ м}^3 = 5000 \text{ м}^3$.

Ответ: объём воды, который вытесняет эта лодка, составляет 5000 м³.

3*. Плот состоит из 12 сухих еловых брусьев. Длина каждого бруса 4 м, ширина 30 см, толщина 25 см. Можно ли на этом плоту переправить через реку автомашину весом 100 кН?

Дано:

Количество брусьев, $N = 12$
Длина бруса, $l = 4 \text{ м}$
Ширина бруса, $b = 30 \text{ см}$
Толщина бруса, $h = 25 \text{ см}$
Вес автомашины, $P_{\text{авт}} = 100 \text{ кН}$
Плотность сухой ели, $\rho_{\text{ели}} \approx 450 \text{ кг/м}^3$ (табличное значение)
Плотность пресной воды, $\rho_{\text{воды}} = 1000 \text{ кг/м}^3$
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ Н/кг}$

Перевод в систему СИ:
$b = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$
$h = 25 \text{ см} = 0,25 \text{ м}$
$P_{\text{авт}} = 100 \text{ кН} = 100 \cdot 1000 \text{ Н} = 100000 \text{ Н}$

Найти:

Можно ли переправить автомашину на плоту?

Решение:

Для того чтобы плот мог удержать на плаву автомашину, его грузоподъемность должна быть не меньше веса автомашины. Грузоподъемность — это максимальный вес груза, который плот может выдержать, не утонув. Она равна разности между максимальной выталкивающей силой (силой Архимеда при полном погружении плота) и собственным весом плота.

1. Сначала найдем объем одного елового бруса:

$V_1 = l \cdot b \cdot h = 4 \text{ м} \cdot 0,3 \text{ м} \cdot 0,25 \text{ м} = 0,3 \text{ м}^3$

2. Теперь найдем общий объем всех брусьев, который равен объему плота:

$V_{\text{плота}} = N \cdot V_1 = 12 \cdot 0,3 \text{ м}^3 = 3,6 \text{ м}^3$

3. Вычислим массу плота, зная его объем и плотность материала (ели):

$m_{\text{плота}} = \rho_{\text{ели}} \cdot V_{\text{плота}} = 450 \text{ кг/м}^3 \cdot 3,6 \text{ м}^3 = 1620 \text{ кг}$

4. Найдем вес плота (силу тяжести, действующую на него):

$P_{\text{плота}} = m_{\text{плота}} \cdot g = 1620 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 16200 \text{ Н}$

5. Определим максимальную выталкивающую (архимедову) силу, которая действует на плот при его полном погружении в воду. Эта сила определяет максимальную общую массу (плот + груз), которую вода может удержать.

$F_{\text{А, макс}} = \rho_{\text{воды}} \cdot g \cdot V_{\text{плота}} = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 3,6 \text{ м}^3 = 36000 \text{ Н}$

6. Теперь можно рассчитать грузоподъемность плота. Это максимальный вес груза, который плот может нести.

$P_{\text{груза}} = F_{\text{А, макс}} - P_{\text{плота}} = 36000 \text{ Н} - 16200 \text{ Н} = 19800 \text{ Н}$

7. Сравним полученную грузоподъемность плота с весом автомашины:

$P_{\text{груза}} = 19800 \text{ Н}$

$P_{\text{авт}} = 100000 \text{ Н}$

Сравнение показывает, что $19800 \text{ Н} < 100000 \text{ Н}$.

Грузоподъемность плота почти в 5 раз меньше веса автомобиля.

Ответ: нет, на этом плоту нельзя переправить автомашину весом 100 кН, так как его грузоподъемность составляет всего 19800 Н (или 19,8 кН), что значительно меньше веса автомобиля.

4. Прочный сосуд, заполненный сжатым воздухом, уравновешен на весах. Стеклянная трубка с краном пропущена через пробку сосуда. К её наружному концу привязана оболочка резинового шара (рис. 162, а). Если часть воздуха из сосуда перейдёт в оболочку и раздует её, то равновесие весов нарушится (рис. 162, б). Объясните почему.

Решение

В начальном состоянии (рис. 162, а) весы уравновешены. Это означает, что вес тел на левой чаше, с учётом выталкивающей силы окружающего воздуха, равен весу гирь на правой чаше.

Когда кран открывают, часть сжатого воздуха из прочного сосуда переходит в оболочку резинового шара и надувает её (рис. 162, б). Рассмотрим, что при этом происходит с системой на левой чаше весов:

1. Масса системы. Система, состоящая из сосуда, воздуха и оболочки шара, является замкнутой. Воздух лишь перераспределился из сосуда в шар, но не покинул систему. Следовательно, общая масса на левой чаше весов, а значит и действующая на нее сила тяжести, не изменилась.

2. Объём системы. Объём прочного стеклянного сосуда остался прежним. Однако объём резинового шара при надувании значительно увеличился. В результате общий объём, занимаемый телами на левой чаше весов ($V_{системы} = V_{сосуда} + V_{шара}$), увеличился.

3. Выталкивающая сила (сила Архимеда). На любое тело, погруженное в газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненного газа. Она рассчитывается по формуле $F_A = \rho_{воздуха} g V_{тела}$. Поскольку общий объём системы на левой чаше увеличился, то и выталкивающая сила, действующая на неё со стороны окружающего воздуха, также увеличилась.

Весы измеряют кажущийся вес тела, который равен разности между силой тяжести и выталкивающей силой ($P = F_T - F_A$). Так как для системы на левой чаше сила тяжести $F_T$ не изменилась, а выталкивающая сила $F_A$ увеличилась, её кажущийся вес $P$ уменьшился. Сила, действующая на правую чашу весов, осталась прежней. В результате левая чаша весов стала «легче» правой, и равновесие нарушилось.

Равновесие весов нарушается из-за увеличения выталкивающей (архимедовой) силы, действующей на систему на левой чаше. Когда воздух из сосуда надувает шар, общая масса системы не меняется, но её общий объем увеличивается. Согласно закону Архимеда, увеличение объема приводит к увеличению выталкивающей силы со стороны окружающего воздуха. Эта сила направлена вверх и уменьшает вес, который показывают весы, поэтому левая чаша поднимается.

5. Почему нарушилось равновесие весов, когда из-под колокола воздушного насоса откачали воздух (рис. 163)? Объясните наблюдаемое явление.

Наблюдаемое явление объясняется действием выталкивающей силы Архимеда в воздушной среде. Рассмотрим ситуацию поэтапно.

1. В начальном состоянии весы находятся под колоколом, заполненным воздухом, и пребывают в равновесии. Это означает, что вес шара на левой чаше равен весу гирьки на правой. Однако на каждое из тел, помимо силы тяжести ($F_т = mg$), действует выталкивающая сила со стороны воздуха ($F_A$), направленная вверх. Вес тела в воздухе ($P$) равен разности силы тяжести и выталкивающей силы Архимеда: $P = F_т - F_A$.

Согласно закону Архимеда, выталкивающая сила равна весу вытесненного воздуха: $F_A = \rho_{возд} \cdot g \cdot V_{тела}$, где $\rho_{возд}$ — плотность воздуха, $g$ — ускорение свободного падения, а $V_{тела}$ — объем тела.

Из рисунка видно, что объем полого шара ($V_{шара}$) значительно превышает объем гирьки ($V_{гирьки}$). Следовательно, выталкивающая сила, действующая на шар, гораздо больше выталкивающей силы, действующей на гирьку: $F_{А,шара} > F_{А,гирьки}$.

Поскольку в воздухе весы находились в равновесии, это означает, что "кажущийся" вес тел был одинаков:

$P_{шара} = P_{гирьки}$

$m_{шара}g - F_{А,шара} = m_{гирьки}g - F_{А,гирьки}$

Так как $F_{А,шара}$ больше, чем $F_{А,гирьки}$, для выполнения этого равенства необходимо, чтобы истинная сила тяжести шара ($m_{шара}g$) была больше истинной силы тяжести гирьки ($m_{гирьки}g$). Другими словами, истинная масса шара больше истинной массы гирьки: $m_{шара} > m_{гирьки}$.

2. После откачки воздуха из-под колокола среда становится близкой к вакууму ($\rho_{возд} \approx 0$). В этих условиях выталкивающая сила Архимеда практически исчезает ($F_A \approx 0$). Теперь весы сравнивают истинные силы тяжести (и, соответственно, истинные массы) шара и гирьки.

Поскольку, как мы выяснили, $m_{шара} > m_{гирьки}$, то и сила тяжести, действующая на шар, становится больше силы тяжести, действующей на гирьку: $m_{шара}g > m_{гирьки}g$.

В результате равновесие весов нарушается, и чаша с шаром, как тело с большей истинной массой, перевешивает.

Ответ: Равновесие весов нарушилось потому, что при откачке воздуха из-под колокола исчезла выталкивающая сила (сила Архимеда), которая действовала на шар и гирьку. Так как объем шара значительно больше объема гирьки, выталкивающая сила, действовавшая на него в воздухе, была больше. Чтобы компенсировать эту разницу и обеспечить начальное равновесие, истинная масса шара должна была быть больше массы гирьки. В вакууме, где выталкивающая сила отсутствует, весы показывают истинное соотношение масс, и шар оказывается тяжелее.

6. Определите подъёмную силу наполненного водородом аэростата объёмом 1000 м³, оболочка которого весит 2000 Н.

Дано:

Объем аэростата $V = 1000 \, \text{м}^3$

Вес оболочки $P_{\text{об}} = 2000 \, \text{Н}$

Плотность воздуха (при нормальных условиях) $\rho_{\text{в}} \approx 1.29 \, \text{кг/м}^3$

Плотность водорода (при нормальных условиях) $\rho_{H_2} \approx 0.09 \, \text{кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{Н/кг}$

Найти:

Подъёмную силу $F_{\text{под}}$

Решение:

Подъёмная сила аэростата представляет собой разность между выталкивающей силой (силой Архимеда), действующей на него, и общей силой тяжести, которая складывается из веса оболочки и веса газа (водорода) внутри неё.

Формула для расчёта подъёмной силы:

$F_{\text{под}} = F_{A} - P_{\text{общ}}$

где $F_{A}$ — сила Архимеда, а $P_{\text{общ}}$ — общая сила тяжести аэростата.

1. Сначала определим выталкивающую силу Архимеда. Она равна весу воздуха, вытесненного объёмом аэростата:

$F_{A} = \rho_{\text{в}} \cdot g \cdot V$

Подставим значения:

$F_{A} = 1.29 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \, \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 1000 \, \text{м}^3 = 12900 \, \text{Н}$

2. Далее найдём вес водорода, находящегося внутри оболочки:

$P_{H_2} = m_{H_2} \cdot g = \rho_{H_2} \cdot V \cdot g$

Подставим значения:

$P_{H_2} = 0.09 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10 \, \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 1000 \, \text{м}^3 = 900 \, \text{Н}$

3. Теперь рассчитаем общую силу тяжести аэростата, сложив вес оболочки и вес водорода:

$P_{\text{общ}} = P_{\text{об}} + P_{H_2}$

$P_{\text{общ}} = 2000 \, \text{Н} + 900 \, \text{Н} = 2900 \, \text{Н}$

4. Наконец, определим подъёмную силу, вычитая общую силу тяжести из силы Архимеда:

$F_{\text{под}} = F_{A} - P_{\text{общ}}$

$F_{\text{под}} = 12900 \, \text{Н} - 2900 \, \text{Н} = 10000 \, \text{Н}$

Ответ: подъёмная сила аэростата составляет $10000 \, \text{Н}$ (или $10 \, \text{кН}$).

7. Определите объём воздушного шара, наполненного гелием, если подъёмная сила шара равна 240 Н.

Дано:

$F_{под} = 240 \text{ Н}$
$\rho_{возд} = 1.29 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воздуха)
$\rho_{He} = 0.18 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность гелия)
$g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$V$ — ?

Решение:

Подъёмная сила $F_{под}$ воздушного шара представляет собой разность между выталкивающей силой Архимеда $F_A$, действующей на шар со стороны окружающего воздуха, и силой тяжести гелия $P_{He}$, которым наполнен шар. В данной задаче мы пренебрегаем массой оболочки шара.

Математически это выражается формулой: $F_{под} = F_A - P_{He}$

Выталкивающая сила (сила Архимеда) по определению равна весу вытесненной среды (в данном случае воздуха) и рассчитывается как:

$F_A = g \cdot m_{возд} = g \cdot \rho_{возд} \cdot V$

где $V$ — это объём шара (и, соответственно, объём вытесненного воздуха), а $\rho_{возд}$ — плотность воздуха.

Сила тяжести, действующая на гелий внутри шара, рассчитывается аналогично:

$P_{He} = g \cdot m_{He} = g \cdot \rho_{He} \cdot V$

где $\rho_{He}$ — плотность гелия.

Теперь подставим выражения для $F_A$ и $P_{He}$ в исходную формулу для подъёмной силы:

$F_{под} = g \cdot \rho_{возд} \cdot V - g \cdot \rho_{He} \cdot V$

Вынесем общие множители $g \cdot V$ за скобки, чтобы упростить выражение:

$F_{под} = g \cdot V \cdot (\rho_{возд} - \rho_{He})$

Из этой формулы выразим искомую величину — объём шара $V$:

$V = \frac{F_{под}}{g \cdot (\rho_{возд} - \rho_{He})}$

Подставим в полученную формулу числовые значения из условия и справочные данные:

$V = \frac{240 \text{ Н}}{10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (1.29 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 0.18 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}$

$V = \frac{240}{10 \cdot 1.11} \text{ м}^3 = \frac{240}{11.1} \text{ м}^3 \approx 21.6 \text{ м}^3$

Ответ: объём воздушного шара примерно равен $21.6 \text{ м}^3$.

8*. В романе Ж. Верна описана подводная лодка «Наутилус» с просторными кабинетами, залами и каютой. Почему современные подводные лодки не обладают такими просторными помещениями?

Современные подводные лодки не обладают просторными помещениями, как «Наутилус» из романа Жюля Верна, по ряду критически важных инженерных и физических причин, которые ставят во главу угла выживаемость и функциональность, а не комфорт.

Внешнее давление. Главная причина — огромное давление воды на больших глубинах. Чтобы противостоять этому колоссальному внешнему давлению, корпус подводной лодки должен иметь форму, которая распределяет нагрузку наиболее равномерно. Идеальной формой является сфера, а практически самой оптимальной и технологичной — цилиндр с полусферическими оконечностями. Именно такую сигарообразную форму и имеют современные субмарины. Просторные помещения с плоскими стенами, полом и потолком создавали бы огромные концентрации напряжений и требовали бы невероятно толстых и тяжелых перекрытий, что сделало бы конструкцию нежизнеспособной. Любая плоская поверхность большого размера под давлением воды была бы неминуемо вдавлена внутрь.

Оптимизация пространства. Внутреннее пространство современной подводной лодки предельно насыщено сложнейшим оборудованием. Здесь размещаются энергетическая установка (например, ядерный реактор), системы жизнеобеспечения, навигационное оборудование, сонары, торпедные аппараты, ракетные шахты и многое другое. Каждый кубический сантиметр используется с максимальной эффективностью. В таких условиях просто не остается места для просторных залов и кабинетов; приоритет отдается функциональности и размещению жизненно важных систем и боезапаса.

Гидродинамика и скрытность. Форма корпуса диктуется не только требованиями прочности, но и гидродинамики. Для быстрого и, что особенно важно для военных подлодок, бесшумного передвижения под водой необходима обтекаемая форма. Она минимизирует сопротивление воды, снижая расход энергии и уровень шума, который может выдать местоположение лодки. Конструкция с выступающими частями или близкая к прямоугольной, которая потребовалась бы для создания больших залов, создавала бы огромное гидродинамическое сопротивление и сильную турбулентность, делая лодку медленной, шумной и неэффективной.

Функциональное назначение. В отличие от фантастического «Наутилуса», который был задуман как подводный дом, исследовательский центр и салон, современные подводные лодки являются узкоспециализированными боевыми или научными машинами. Их конструкция — это компромисс между прочностью, скоростью, незаметностью и функциональностью, где для роскоши и просторных помещений, характерных для «Наутилуса», просто не остается ни физической, ни практической возможности.

Ответ: Современные подводные лодки не имеют просторных помещений, в первую очередь, из-за необходимости иметь прочный корпус сигарообразной формы для противостояния огромному давлению воды на глубине. Кроме того, их внутренний объем предельно плотно скомпонован жизненно важным оборудованием, а обтекаемая форма продиктована требованиями скорости и скрытности, что исключает возможность создания больших комнат с плоскими стенами.

1. Изготовьте модель корабля или лодки. Для этого возьмите пластиковую бутылку с закрытой крышкой. Определите, какой максимальный груз может принять «на борт» ваш «корабль».

Чтобы определить максимальный груз, который может принять на борт модель корабля из пластиковой бутылки, необходимо воспользоваться законом Архимеда. Модель корабля с грузом будет плавать до тех пор, пока ее общий вес не превысит максимальную выталкивающую (архимедову) силу.

Максимальная выталкивающая сила $F_{А, макс}$ достигается в тот момент, когда тело полностью погружено в жидкость (в нашем случае — в воду). Эта сила равна весу воды, вытесненной всем объемом бутылки $V_{б}$.

$F_{А, макс} = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{б}$

где $\rho_{в}$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения.

Общий вес «корабля» с максимальным грузом равен сумме веса самой бутылки $P_б$ и веса максимального груза $P_{груза, макс}$.

$P_{общ} = P_{б} + P_{груза, макс} = (m_{б} + m_{груза, макс}) \cdot g$

В состоянии равновесия, когда бутылка полностью погружена и готова утонуть, общий вес равен максимальной выталкивающей силе:

$(m_{б} + m_{груза, макс}) \cdot g = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{б}$

Сократив $g$, получим формулу для расчета массы максимального груза:

$m_{груза, макс} = \rho_{в} \cdot V_{б} - m_{б}$

Таким образом, чтобы найти максимальную массу груза, нужно знать объем бутылки и ее собственную массу.

Проведем расчет на примере стандартной пластиковой бутылки.

Дано:

Объем бутылки ($V_{б}$) = 2 л

Масса пустой бутылки с крышкой ($m_{б}$) = 40 г

Плотность пресной воды ($\rho_{в}$) = 1000 кг/м³

Перевод в систему СИ:

$V_{б} = 2 \text{ л} = 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$m_{б} = 40 \text{ г} = 0.04 \text{ кг}$

Найти:

$m_{груза, макс}$ — ?

Решение:

Воспользуемся выведенной формулой:

$m_{груза, макс} = \rho_{в} \cdot V_{б} - m_{б}$

Подставим числовые значения:

$m_{груза, макс} = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 0.04 \text{ кг}$

$m_{груза, макс} = 2 \text{ кг} - 0.04 \text{ кг} = 1.96 \text{ кг}$

Таким образом, двухлитровая бутылка может удержать на плаву груз массой почти 2 килограмма. Для определения грузоподъемности вашей конкретной бутылки необходимо измерить ее массу на весах и использовать объем, указанный на этикетке.

Ответ: Максимальная масса груза, которую может принять «корабль», рассчитывается по формуле $m_{груза, макс} = \rho_{воды} \cdot V_{бутылки} - m_{бутылки}$. Для бутылки объемом 2 л и массой 40 г максимальный груз составляет 1.96 кг.