Страница 232 - гдз по физике 7 класс учебник Пёрышкин, Иванов

107. Экскаватор за 1 ч поднимает 120 т песка на высоту 10 м. Какую мощность он при этом развивает?

Дано:

Время $t = 1 \text{ ч}$
Масса песка $m = 120 \text{ т}$
Высота $h = 10 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:
$t = 1 \cdot 3600 \text{ с} = 3600 \text{ с}$
$m = 120 \cdot 1000 \text{ кг} = 120000 \text{ кг}$

Найти:

Мощность $N$

Решение:

Мощность ($N$) — это физическая величина, равная отношению работы ($A$) ко времени ($t$), за которое эта работа была совершена. Формула для вычисления мощности:

$N = \frac{A}{t}$

Работа, совершаемая экскаватором при подъеме песка на определенную высоту, равна изменению его потенциальной энергии. Работа против силы тяжести вычисляется по формуле:

$A = mgh$

где $m$ — масса тела, $h$ — высота, на которую его поднимают, а $g$ — ускорение свободного падения. Примем значение $g$ приблизительно равным $10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$.

Теперь объединим эти две формулы, подставив выражение для работы в формулу мощности:

$N = \frac{mgh}{t}$

Подставим в полученное уравнение числовые значения из условия задачи, предварительно переведенные в систему СИ:

$N = \frac{120000 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 10 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{12000000 \text{ Дж}}{3600 \text{ с}}$

Проведем вычисления:

$N = \frac{120000}{36} \text{ Вт} = \frac{10000}{3} \text{ Вт} \approx 3333,3 \text{ Вт}$

Для удобства можно перевести полученное значение в киловатты (кВт), зная, что $1 \text{ кВт} = 1000 \text{ Вт}$:

$N \approx \frac{3333,3}{1000} \text{ кВт} \approx 3,33 \text{ кВт}$

Ответ: экскаватор развивает мощность приблизительно $3,33$ кВт.

108. Какую работу совершает двигатель мясорубки мощностью 800 Вт в течение 20 мин?

Дано:

Мощность двигателя мясорубки, $P = 800$ Вт

Время работы, $t = 20$ мин

Переведем время в систему СИ (секунды):

$t = 20 \text{ мин} = 20 \cdot 60 \text{ с} = 1200 \text{ с}$

Найти:

Работу $A$

Решение:

Работа, совершаемая двигателем, связана с его мощностью и временем работы. Мощность ($P$) по определению — это скорость совершения работы ($A$) во времени ($t$).

Формула мощности:

$P = \frac{A}{t}$

Из этой формулы мы можем выразить работу $A$:

$A = P \cdot t$

Теперь подставим данные из условия задачи в эту формулу, используя значения в системе СИ:

$A = 800 \text{ Вт} \cdot 1200 \text{ с} = 960000 \text{ Дж}$

Полученное значение можно для удобства представить в килоджоулях (кДж), зная, что 1 кДж = 1000 Дж:

$A = \frac{960000}{1000} \text{ кДж} = 960 \text{ кДж}$

Ответ: работа, которую совершает двигатель мясорубки, равна 960 кДж.

109. Какую работу совершит гиря от часов массой 0,5 кг при опускании с высоты 2 м до высоты 1 м? Какова мощность (в МВт) гири, если опускание произошло за 24 ч?

Дано:

Масса гири, $m = 0.5$ кг
Начальная высота, $h_1 = 2$ м
Конечная высота, $h_2 = 1$ м
Время опускания, $t = 24$ ч
Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

$t = 24 \text{ ч} = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

Работу, $A$ — ?
Мощность, $N$ — ? (в мВт)

Решение:

1. Какую работу совершит гиря от часов массой 0,5 кг при опускании с высоты 2 м до высоты 1 м?

Работа, совершаемая силой тяжести, равна произведению модуля силы тяжести на пройденный по вертикали путь. В данном случае, это разность высот. Сила тяжести равна $F = mg$. Путь равен $h = h_1 - h_2$.

Формула для расчёта работы:

$A = F \cdot h = mg(h_1 - h_2)$

Подставим известные значения в формулу:

$A = 0.5 \text{ кг} \cdot 9.8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (2 \text{ м} - 1 \text{ м}) = 4.9 \cdot 1 = 4.9$ Дж.

Ответ: работа, совершённая гирей, равна 4,9 Дж.

2. Какова мощность (в мВт) гири, если опускание произошло за 24 ч?

Мощность — это скорость совершения работы, которая вычисляется как отношение работы ко времени, за которое она была совершена.

Формула для расчёта мощности:

$N = \frac{A}{t}$

Мы уже рассчитали работу $A = 4.9$ Дж и время в секундах $t = 86400$ с. Подставим эти значения:

$N = \frac{4.9 \text{ Дж}}{86400 \text{ с}} \approx 0.00005671$ Вт.

По условию задачи, мощность необходимо выразить в милливаттах (мВт). В одном ватте 1000 милливатт (1 Вт = 1000 мВт). Выполним перевод единиц:

$N = 0.00005671 \text{ Вт} \cdot 1000 \frac{\text{мВт}}{\text{Вт}} \approx 0.05671$ мВт.

Округлим результат до двух значащих цифр:

$N \approx 0.057$ мВт.

Ответ: мощность гири составляет примерно 0,057 мВт.

110. К разным концам рычага подвешены грузы весом 40 и 230 Н. Расстояние от точки опоры до точки приложения меньшей силы 60 см. Определите длину рычага, если он находится в равновесии.

Дано:

$P_1 = F_1 = 40 \text{ Н}$ (вес первого груза, меньшая сила)

$P_2 = F_2 = 230 \text{ Н}$ (вес второго груза, большая сила)

$d_1 = 60 \text{ см}$ (расстояние от точки опоры до точки приложения меньшей силы)

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

$L$ — длину рычага.

Решение:

Для того чтобы рычаг находился в равновесии, необходимо, чтобы моменты сил, действующих на него, уравновешивали друг друга. Условие равновесия рычага (правило моментов) гласит: момент силы, вращающей тело по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки.

Формула правила моментов:

$M_1 = M_2$

где $M_1$ и $M_2$ — моменты сил. Момент силы рассчитывается как произведение модуля силы на её плечо:

$F_1 \cdot d_1 = F_2 \cdot d_2$

Здесь $F_1$ и $F_2$ — это силы (веса грузов), а $d_1$ и $d_2$ — это плечи этих сил (расстояния от точек приложения сил до точки опоры).

По условию задачи нам известны $F_1$, $F_2$ и плечо меньшей силы $d_1$. Нам нужно найти плечо большей силы $d_2$. Выразим $d_2$ из формулы равновесия:

$d_2 = \frac{F_1 \cdot d_1}{F_2}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$d_2 = \frac{40 \text{ Н} \cdot 0.6 \text{ м}}{230 \text{ Н}} = \frac{24}{230} \text{ м} \approx 0.104 \text{ м}$

Длина всего рычага $L$ равна сумме длин его плеч, так как грузы подвешены к разным концам рычага:

$L = d_1 + d_2$

Теперь вычислим общую длину рычага:

$L = 0.6 \text{ м} + 0.104 \text{ м} = 0.704 \text{ м}$

Переведем результат в сантиметры для наглядности:

$L = 0.704 \text{ м} = 70.4 \text{ см}$

Ответ: длина рычага составляет 0.704 м или 70.4 см.

111. Рабочий поднимает груз на высоту 15 м при помощи подвижного блока, прикладывая к верёвке силу 0,2 кН. Определите работу, которую совершает рабочий.

Дано:

$h = 15 \text{ м}$

$F = 0,2 \text{ кН} = 0,2 \cdot 10^3 \text{ Н} = 200 \text{ Н}$

Найти:

$A_{раб}$

Решение:

Работа, которую совершает рабочий ($A_{раб}$), определяется как произведение силы, которую он прикладывает к веревке ($F$), на расстояние, на которое он перемещает конец веревки ($l$). Формула для работы:

$A_{раб} = F \cdot l$

Используемый механизм — подвижный блок. Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза, но при этом приводит к проигрышу в расстоянии также в 2 раза. Это означает, что для того, чтобы поднять груз на высоту $h$, рабочему необходимо вытянуть веревку на длину $l$, вдвое большую этой высоты.

Следовательно, соотношение между длиной вытянутой веревки и высотой подъема груза следующее:

$l = 2h$

Рассчитаем длину веревки, которую вытянул рабочий:

$l = 2 \cdot 15 \text{ м} = 30 \text{ м}$

Теперь мы можем определить работу, совершенную рабочим, подставив известные значения в формулу работы:

$A_{раб} = 200 \text{ Н} \cdot 30 \text{ м} = 6000 \text{ Дж}$

Полученное значение можно также выразить в килоджоулях (кДж), зная, что $1 \text{ кДж} = 1000 \text{ Дж}$.

$6000 \text{ Дж} = 6 \text{ кДж}$

Ответ: работа, которую совершает рабочий, равна $6000 \text{ Дж}$ или $6 \text{ кДж}$.

112. Высота наклонной плоскости 1,5 м, а длина 12 м. Груз массой 150 кг равномерно перемещают по этой плоскости, прикладывая силу 250 Н. Определите КПД наклонной плоскости.

Дано:

$h = 1,5 \text{ м}$
$L = 12 \text{ м}$
$m = 150 \text{ кг}$
$F = 250 \text{ Н}$
$g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Найти:

$\eta$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) наклонной плоскости вычисляется как отношение полезной работы к полной (затраченной) работе. Формула для КПД:

$\eta = \frac{A_{полезная}}{A_{затраченная}} \cdot 100\%$

Полезная работа ($A_{полезная}$) — это работа по преодолению силы тяжести, то есть по подъему груза на высоту $h$. Она равна изменению потенциальной энергии груза:

$A_{полезная} = m \cdot g \cdot h$

Вычислим значение полезной работы:

$A_{полезная} = 150 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 1,5 \text{ м} = 2250 \text{ Дж}$

Затраченная работа ($A_{затраченная}$) — это работа, которую совершает приложенная сила $F$ для перемещения груза вдоль всей длины наклонной плоскости $L$:

$A_{затраченная} = F \cdot L$

Вычислим значение затраченной работы:

$A_{затраченная} = 250 \text{ Н} \cdot 12 \text{ м} = 3000 \text{ Дж}$

Теперь, зная обе величины работы, можем определить КПД:

$\eta = \frac{2250 \text{ Дж}}{3000 \text{ Дж}} \cdot 100\% = 0,75 \cdot 100\% = 75\%$

Ответ: $75\%$.

113. Каким видом энергии обладают: а) сани, скатывающиеся с ледяной горы; б) пружина заведённых механических часов; в) шайба, скользящая по льду; г) шайба, летящая по воздуху?

а) Сани, скатывающиеся с ледяной горы, обладают двумя видами механической энергии. Во-первых, поскольку сани движутся, они обладают кинетической энергией. Кинетическая энергия – это энергия движения, и она рассчитывается по формуле $E_к = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ – масса саней, а $v$ – их скорость. Во-вторых, так как сани находятся на некоторой высоте $h$ относительно подножия горы (которое можно принять за нулевой уровень), они обладают потенциальной энергией. Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел, в данном случае – саней и Земли, и она рассчитывается по формуле $E_п = mgh$, где $g$ – ускорение свободного падения. Таким образом, полная механическая энергия саней в любой момент времени (пренебрегая трением) является суммой кинетической и потенциальной энергий. В процессе скатывания потенциальная энергия переходит в кинетическую.

Ответ: кинетической и потенциальной энергией.

б) Пружина заведённых механических часов является упруго деформированным телом. Когда пружину заводят, ей сообщают энергию, которая запасается в виде потенциальной энергии упругой деформации. Эта энергия определяется по формуле $E_п = \frac{kx^2}{2}$, где $k$ – жёсткость пружины, а $x$ – её деформация. Пружина в часах находится в скрученном состоянии. Эта запасённая потенциальная энергия затем постепенно расходуется, приводя в движение часовой механизм. Сама пружина как целое не движется, поэтому её кинетическая энергия равна нулю.

Ответ: потенциальной энергией.

в) Шайба, скользящая по льду, находится в движении, следовательно, она обладает кинетической энергией ($E_к = \frac{mv^2}{2}$). Если считать поверхность льда горизонтальной и принять её за нулевой уровень отсчёта высоты ($h=0$), то потенциальная энергия шайбы будет равна нулю ($E_п = mgh = 0$). Таким образом, основной вид энергии, которым обладает шайба в данном случае, – это кинетическая энергия.

Ответ: кинетической энергией.

г) Шайба, летящая по воздуху, как и сани на горе, обладает двумя видами механической энергии. Поскольку шайба летит, то есть имеет скорость $v$, она обладает кинетической энергией ($E_к = \frac{mv^2}{2}$). Так как она находится на некоторой высоте $h$ над поверхностью земли (или льда), она также обладает потенциальной энергией ($E_п = mgh$). Её полная механическая энергия (если пренебречь сопротивлением воздуха) является суммой этих двух видов энергии. Во время полета происходит постоянное преобразование одного вида энергии в другой: при подъеме кинетическая энергия переходит в потенциальную, а при падении – наоборот.

Ответ: кинетической и потенциальной энергией.

114. Чему равна кинетическая энергия тела массой 0,4 кг, движущегося со скоростью 3$\frac{м}{с}$?

Дано:

Масса тела, $m = 0,4$ кг
Скорость тела, $v = 3$ м/с

Все данные уже находятся в Международной системе единиц (СИ), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Кинетическую энергию тела, $E_k$

Решение:

Кинетическая энергия материальной точки определяется по формуле:

$E_k = \frac{mv^2}{2}$

где $m$ — это масса тела, а $v$ — его скорость.

Подставим данные из условия задачи в эту формулу и произведем вычисления:

$E_k = \frac{0,4 \text{ кг} \cdot (3 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{0,4 \cdot 9}{2} \text{ Дж}$

$E_k = \frac{3,6}{2} \text{ Дж} = 1,8 \text{ Дж}$

Ответ: кинетическая энергия тела равна 1,8 Дж.

115. Как и во сколько раз изменится кинетическая энергия тела, если его скорость уменьшится в 3 раза?

Дано:

Пусть начальная скорость тела равна $v_1$, а конечная скорость $v_2$. По условию задачи, скорость уменьшилась в 3 раза, следовательно:
$v_2 = \frac{v_1}{3}$

Пусть начальная кинетическая энергия тела равна $E_{k1}$, а конечная кинетическая энергия $E_{k2}$.

Найти:

Отношение $\frac{E_{k1}}{E_{k2}}$

Решение:

Кинетическая энергия тела определяется по формуле:
$E_k = \frac{mv^2}{2}$
где $m$ — масса тела, $v$ — его скорость.

Запишем формулу для начальной кинетической энергии тела:
$E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2}$

Запишем формулу для конечной кинетической энергии, подставив в нее значение конечной скорости $v_2$:
$E_{k2} = \frac{mv_2^2}{2} = \frac{m(\frac{v_1}{3})^2}{2}$

Упростим выражение для конечной кинетической энергии:
$E_{k2} = \frac{m \frac{v_1^2}{9}}{2} = \frac{1}{9} \cdot \frac{mv_1^2}{2}$

Так как $E_{k1} = \frac{mv_1^2}{2}$, то мы можем выразить конечную кинетическую энергию через начальную:
$E_{k2} = \frac{1}{9} E_{k1}$

Теперь найдем, во сколько раз изменилась кинетическая энергия, для этого найдем отношение начальной энергии к конечной:
$\frac{E_{k1}}{E_{k2}} = \frac{E_{k1}}{\frac{1}{9} E_{k1}} = 9$

Таким образом, при уменьшении скорости тела в 3 раза его кинетическая энергия уменьшится в 9 раз, так как кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости.

Ответ: кинетическая энергия тела уменьшится в 9 раз.

116. Определите потенциальную энергию, которой обладает самолёт массой 40 т, находящийся на высоте 8 км.

Дано:

$m = 40 \text{ т} = 40 \cdot 1000 \text{ кг} = 40000 \text{ кг}$
$h = 8 \text{ км} = 8 \cdot 1000 \text{ м} = 8000 \text{ м}$

Найти:

$E_p$

Решение:

Потенциальная энергия тела, находящегося на некоторой высоте над поверхностью Земли, определяется по формуле:

$E_p = m \cdot g \cdot h$

где $m$ – масса тела, $h$ – высота, на которой находится тело, а $g$ – ускорение свободного падения. Примем значение ускорения свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Теперь подставим данные из условия задачи в формулу и произведем вычисления:

$E_p = 40000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} \cdot 8000 \text{ м} = 3200000000 \text{ Дж}$

Результат можно представить в более удобном виде, используя приставки. Переведем джоули в мегаджоули (МДж) или гигаджоули (ГДж):

$1 \text{ МДж} = 10^6 \text{ Дж}$

$3200000000 \text{ Дж} = 3200 \cdot 10^6 \text{ Дж} = 3200 \text{ МДж}$

или

$1 \text{ ГДж} = 10^9 \text{ Дж}$

$3200000000 \text{ Дж} = 3.2 \cdot 10^9 \text{ Дж} = 3.2 \text{ ГДж}$

Ответ: потенциальная энергия самолёта равна $3200 \text{ МДж}$ (или $3.2 \text{ ГДж}$).

117. Тело массой 1 кг падает с высоты 10 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна 80 Дж? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:

Масса тела $m = 1$ кг
Начальная высота $H = 10$ м
Кинетическая энергия на искомой высоте $E_{k2} = 80$ Дж
Ускорение свободного падения $g \approx 10$ м/с$^2$

$h_2$ - ?

Поскольку в задаче указано пренебречь сопротивлением воздуха, мы можем воспользоваться законом сохранения полной механической энергии. Полная механическая энергия тела ($E_{полн}$) равна сумме его потенциальной ($E_p$) и кинетической ($E_k$) энергий и остается постоянной величиной на протяжении всего падения.

$E_{полн} = E_p + E_k = \text{const}$

В начальный момент времени тело находится на высоте $H=10$ м. Так как оно "падает с высоты", его начальная скорость равна нулю, и, следовательно, его начальная кинетическая энергия $E_{k1} = 0$. Потенциальная энергия в этой точке максимальна и вычисляется по формуле:

$E_{p1} = mgH$

Таким образом, полная механическая энергия тела равна его начальной потенциальной энергии. Рассчитаем ее:

$E_{полн} = mgH = 1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 10 \text{ м} = 100 \text{ Дж}$

На искомой высоте $h_2$ тело обладает потенциальной энергией $E_{p2} = mgh_2$ и, по условию, кинетической энергией $E_{k2} = 80$ Дж.

Согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия на высоте $h_2$ должна быть равна начальной полной энергии:

$E_{полн} = E_{p2} + E_{k2}$

Подставим известные значения в это уравнение:

$100 \text{ Дж} = E_{p2} + 80 \text{ Дж}$

Из этого выражения мы можем найти потенциальную энергию тела на высоте $h_2$:

$E_{p2} = 100 \text{ Дж} - 80 \text{ Дж} = 20 \text{ Дж}$

Зная, что $E_{p2} = mgh_2$, мы можем выразить и найти искомую высоту $h_2$:

$h_2 = \frac{E_{p2}}{mg}$

Выполним вычисления:

$h_2 = \frac{20 \text{ Дж}}{1 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} = 2 \text{ м}$

Ответ: 2 м.

118. Какие превращения энергии происходят при прыжках ребёнка на батуте?

При прыжках ребёнка на батуте происходит сложный циклический процесс превращения энергии. В этом процессе участвуют несколько видов энергии: потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли ($E_п = mgh$), кинетическая энергия движущегося тела ($E_к = \frac{mv^2}{2}$), и потенциальная энергия упругой деформации батута ($E_{упр}$).

Рассмотрим полный цикл. Когда ребёнок находится в наивысшей точке своей траектории, его скорость равна нулю, поэтому кинетическая энергия отсутствует, а потенциальная энергия максимальна. При движении вниз под действием силы тяжести высота уменьшается, а скорость растёт — происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую ($E_п \rightarrow E_к$). В момент касания батута кинетическая энергия ребёнка максимальна. Далее, при взаимодействии с батутом, полотно начинает прогибаться. Кинетическая энергия ребёнка и его уменьшающаяся потенциальная энергия переходят в потенциальную энергию упруго деформированного батута ($E_к + E_п \rightarrow E_{упр}$). В самой нижней точке, когда прогиб батута максимален, скорость ребёнка на мгновение обнуляется, и почти вся его механическая энергия концентрируется в виде упругой энергии батута. Затем батут, распрямляясь, выталкивает ребёнка вверх. При этом происходит обратное преобразование: накопленная упругая энергия батута переходит в кинетическую и потенциальную энергию ребёнка ($E_{упр} \rightarrow E_к + E_п$). После отрыва от батута ребёнок летит вверх, его скорость уменьшается, а высота растёт, то есть кинетическая энергия снова переходит в потенциальную ($E_к \rightarrow E_п$). Достигнув верхней точки, ребёнок на мгновение замирает, и цикл начинается заново.

Важно учесть, что в реальной системе из-за действия сил трения (сопротивление воздуха) и неупругих деформаций полотна батута часть механической энергии на каждом этапе цикла необратимо переходит во внутреннюю энергию (теплоту) и в энергию звуковых волн. Поэтому для поддержания прыжков или увеличения их высоты ребёнок должен совершать работу, используя химическую энергию мышц своего тела.

Ответ: При прыжках на батуте происходят следующие циклические превращения энергии: потенциальная энергия ребёнка в верхней точке переходит в кинетическую во время падения; при контакте с батутом кинетическая энергия преобразуется в потенциальную энергию упругой деформации батута; затем эта упругая энергия обратно преобразуется в кинетическую и потенциальную энергию ребёнка, подбрасывая его вверх. На каждом этапе часть механической энергии теряется, переходя во внутреннюю энергию (тепло) из-за сопротивления воздуха и неупругой деформации батута, а также в энергию звука.