Номер 1138, страница 286 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1138, страница 286.

Условие.

1138 Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:

а) диагонали ромба равны 6 см и 8 см;

б) сторона ромба равна $a$ и острый угол равен $\alpha$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$ или $C = \pi d$, где $r$ – радиус, а $d$ – диаметр окружности. Диаметр окружности, вписанной в ромб, равен высоте ромба $h$. Таким образом, задача сводится к нахождению высоты ромба. Длина окружности будет равна $C = \pi h$.

По условию, диагонали ромба равны $d_1 = 6$ см и $d_2 = 8$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Они разделяют ромб на четыре равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны половинам диагоналей:

$\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см

$\frac{d_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см

Гипотенузой этих треугольников является сторона ромба $s$. Найдем её по теореме Пифагора:

$s = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Площадь ромба можно вычислить двумя способами: через диагонали и через сторону и высоту.

1. Через диагонали: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см².

2. Через сторону и высоту: $S = s \cdot h = 5 \cdot h$.

Приравняв оба выражения для площади, найдем высоту $h$:

$5 \cdot h = 24$

$h = \frac{24}{5} = 4.8$ см.

Теперь можем найти длину вписанной окружности:

$C = \pi h = 4.8\pi$ см.

Ответ: $4.8\pi$ см.

б)

По условию, сторона ромба равна $a$, а острый угол равен $\alpha$. Как и в предыдущем пункте, длина вписанной окружности равна $C = \pi h$, где $h$ - высота ромба.

Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной ромба $a$ (которая будет гипотенузой), высотой $h$ (катет, противолежащий углу $\alpha$) и отрезком смежной стороны.

Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{a}$

Из этого соотношения выражаем высоту ромба:

$h = a \sin(\alpha)$

Подставляем найденную высоту в формулу для длины окружности:

$C = \pi h = \pi a \sin(\alpha)$

Ответ: $\pi a \sin(\alpha)$.