Номер 1133, страница 285 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1133, страница 285.

Условие.

1133 Диагонали $A_1A_6$ и $A_2A_9$ правильного двенадцатиугольника пересекаются в точке $B$ (рис. 318). Докажите, что:

а) треугольники $A_1A_2B$ и $A_6A_9B$ равносторонние;

б) $A_1A_6=2r$, где $r$ — радиус вписанной в двенадцатиугольник окружности.

Рис. 318

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

а)

Пусть дан правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$, вписанный в окружность с центром в точке $O$.

Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного двенадцатиугольника, равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$. Это означает, что градусная мера дуги, стягиваемой каждой стороной (например, дуги $A_1A_2$), равна $30^\circ$.

Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Рассмотрим треугольник $A_1A_2B$.

1. Найдем угол $\angle BA_1A_2$, который является вписанным углом $\angle A_6A_1A_2$. Этот угол опирается на дугу $A_2A_6$. Дуга $A_2A_6$ состоит из 4-х дуг, стягиваемых сторонами многоугольника ($A_2A_3, A_3A_4, A_4A_5, A_5A_6$).
Следовательно, градусная мера дуги $A_2A_6$ равна $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
Тогда $\angle BA_1A_2 = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

2. Найдем угол $\angle A_1A_2B$, который является вписанным углом $\angle A_1A_2A_9$. Этот угол опирается на дугу $A_1A_9$. Дуга $A_1A_9$ (меньшая) состоит из 4-х дуг ($A_1A_{12}, A_{12}A_{11}, A_{11}A_{10}, A_{10}A_9$).
Следовательно, градусная мера дуги $A_1A_9$ равна $4 \cdot 30^\circ = 120^\circ$.
Тогда $\angle A_1A_2B = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

3. Поскольку два угла в треугольнике $A_1A_2B$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle A_1BA_2$ равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, треугольник $A_1A_2B$ является равносторонним.

Рассмотрим треугольник $A_6A_9B$.

1. Угол $\angle A_6BA_9$ является вертикальным углу $\angle A_1BA_2$, следовательно, $\angle A_6BA_9 = \angle A_1BA_2 = 60^\circ$.

2. Найдем угол $\angle BA_6A_9$, который является вписанным углом $\angle A_1A_6A_9$. Этот угол опирается на ту же дугу $A_1A_9$, что и угол $\angle A_1A_2A_9$.
Градусная мера дуги $A_1A_9$ равна $120^\circ$.
Тогда $\angle BA_6A_9 = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.

3. Поскольку два угла в треугольнике $A_6A_9B$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle BA_9A_6$ равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, треугольник $A_6A_9B$ также является равносторонним.

Ответ: Доказано.

б)

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности (апофема) правильного двенадцатиугольника. Центр $O$ у обеих окружностей совпадает.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти из прямоугольного треугольника, образованного радиусом описанной окружности $R$, апофемой $r$ и половиной стороны многоугольника. Центральный угол, соответствующий одной стороне, равен $30^\circ$. Апофема является биссектрисой этого угла в равнобедренном треугольнике $OA_1A_2$. Таким образом, $r = R \cos(30^\circ/2) = R \cos(15^\circ)$. Отсюда $2r = 2R \cos(15^\circ)$.

Теперь найдем длину диагонали $A_1A_6$. Рассмотрим треугольник $A_1OA_6$. Он равнобедренный, так как $OA_1 = OA_6 = R$. Угол $\angle A_1OA_6$ — это центральный угол, опирающийся на дугу $A_1A_6$. Эта дуга состоит из 5 дуг, стягиваемых сторонами многоугольника ($A_1A_2, ..., A_5A_6$).
Следовательно, $\angle A_1OA_6 = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $A_1OA_6$ имеем:
$A_1A_6^2 = OA_1^2 + OA_6^2 - 2 \cdot OA_1 \cdot OA_6 \cdot \cos(\angle A_1OA_6)$
$A_1A_6^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(150^\circ)$
$A_1A_6^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\cos(30^\circ)) = 2R^2(1 + \cos(30^\circ))$
$A_1A_6^2 = 2R^2(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) = R^2(2 + \sqrt{3})$

Теперь воспользуемся формулой половинного угла для косинуса: $1 + \cos\alpha = 2\cos^2(\alpha/2)$.
$A_1A_6^2 = 2R^2 \cdot (2\cos^2(15^\circ)) = 4R^2\cos^2(15^\circ)$.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$A_1A_6 = \sqrt{4R^2\cos^2(15^\circ)} = 2R \cos(15^\circ)$.

Мы ранее установили, что $2r = 2R \cos(15^\circ)$.
Следовательно, $A_1A_6 = 2r$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.