Номер 1136, страница 285 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 12. Длина окружности и площадь круга. Параграф 2. Длина окружности и площадь круга - номер 1136, страница 285.

Условие.

1136 Квадрат $A_1A_2A_3A_4$ вписан в окружность радиуса $R$ (рис. 320). На его сторонах отмечены восемь точек так, что $A_1B_1 = A_2B_2 = A_3B_3 = A_4B_4 = A_1C_1 = A_2C_2 = A_3C_3 = A_4C_4 = R$. Докажите, что восьмиугольник $B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$ правильный, и выразите площадь этого восьмиугольника через радиус $R$.

Рис. 320

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 10.

Докажите, что восьмиугольник $B_1C_3B_2C_4B_3C_1B_4C_2$ правильный

Для доказательства введем систему координат с центром в центре окружности $O(0,0)$. Поскольку квадрат $A_1A_2A_3A_4$ вписан в окружность радиуса $R$, его вершины имеют координаты:$A_1(-\frac{R}{\sqrt{2}}, \frac{R}{\sqrt{2}})$, $A_2(\frac{R}{\sqrt{2}}, \frac{R}{\sqrt{2}})$, $A_3(\frac{R}{\sqrt{2}}, -\frac{R}{\sqrt{2}})$, $A_4(-\frac{R}{\sqrt{2}}, -\frac{R}{\sqrt{2}})$. Сторона квадрата $a$ равна $A_1A_2 = \frac{R}{\sqrt{2}} - (-\frac{R}{\sqrt{2}}) = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.

Теперь определим координаты восьми точек на сторонах квадрата согласно условию:

• Точки $B_1$ и $C_2$ лежат на стороне $A_1A_2$. По условию $A_1B_1=R$ и $A_2C_2=R$. Координата $y$ для обеих точек равна $\frac{R}{\sqrt{2}}$. Координата $x$ для $B_1$: $x_{B_1} = x_{A_1} + R = -\frac{R}{\sqrt{2}} + R = R(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$. Координата $x$ для $C_2$: $x_{C_2} = x_{A_2} - R = \frac{R}{\sqrt{2}} - R = R(\frac{1}{\sqrt{2}}-1)$. Итак, $B_1(R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}), \frac{R}{\sqrt{2}})$ и $C_2(R(\frac{1}{\sqrt{2}}-1), \frac{R}{\sqrt{2}})$.
• Точки $B_2$ и $C_3$ лежат на стороне $A_2A_3$. По условию $A_2B_2=R$ и $A_3C_3=R$. Координата $x$ для обеих точек равна $\frac{R}{\sqrt{2}}$. Координата $y$ для $B_2$: $y_{B_2} = y_{A_2} - R = \frac{R}{\sqrt{2}} - R = R(\frac{1}{\sqrt{2}}-1)$. Координата $y$ для $C_3$: $y_{C_3} = y_{A_3} + R = -\frac{R}{\sqrt{2}} + R = R(1-\frac{1}{\sqrt{2}})$. Итак, $B_2(\frac{R}{\sqrt{2}}, R(\frac{1}{\sqrt{2}}-1))$ и $C_3(\frac{R}{\sqrt{2}}, R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}))$.

В силу симметрии, координаты остальных точек можно найти аналогично.

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Проверим эти два условия.

1. Равенство сторон.Найдем длины двух соседних сторон восьмиугольника, например, $B_1C_2$ и $B_1C_3$. Длина стороны $B_1C_2$, лежащей на стороне квадрата:$s_1 = |x_{B_1} - x_{C_2}| = |R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}) - R(\frac{1}{\sqrt{2}}-1)| = |2R - \frac{2R}{\sqrt{2}}| = |2R - R\sqrt{2}| = R(2-\sqrt{2})$. Длина стороны $B_1C_3$, соединяющей вершины на смежных сторонах квадрата. Используем формулу расстояния между точками $B_1(R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}), \frac{R}{\sqrt{2}})$ и $C_3(\frac{R}{\sqrt{2}}, R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}))$:$(s_2)^2 = (x_{C_3}-x_{B_1})^2 + (y_{C_3}-y_{B_1})^2$$\Delta x = \frac{R}{\sqrt{2}} - R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{R}{\sqrt{2}} - R + \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{2R}{\sqrt{2}} - R = R(\sqrt{2}-1)$.$\Delta y = R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}) - \frac{R}{\sqrt{2}} = R - \frac{2R}{\sqrt{2}} = R - R\sqrt{2} = -R(\sqrt{2}-1)$.$(s_2)^2 = (R(\sqrt{2}-1))^2 + (-R(\sqrt{2}-1))^2 = 2R^2(\sqrt{2}-1)^2$.$s_2 = \sqrt{2} \cdot R(\sqrt{2}-1) = R(2-\sqrt{2})$. Поскольку $s_1 = s_2$, и в силу полной симметрии фигуры, все 8 сторон восьмиугольника равны $s = R(2-\sqrt{2})$.

2. Равенство углов.Найдем один из внутренних углов, например, $\angle C_2B_1C_3$. Для этого воспользуемся скалярным произведением векторов $\vec{B_1C_2}$ и $\vec{B_1C_3}$.$\vec{B_1C_2} = (x_{C_2}-x_{B_1}, y_{C_2}-y_{B_1}) = (R(\frac{1}{\sqrt{2}}-1) - R(1-\frac{1}{\sqrt{2}}), 0) = (R(\frac{2}{\sqrt{2}}-2), 0) = (R(\sqrt{2}-2), 0)$.$\vec{B_1C_3} = (x_{C_3}-x_{B_1}, y_{C_3}-y_{B_1}) = (R(\sqrt{2}-1), -R(\sqrt{2}-1))$. Скалярное произведение:$\vec{B_1C_2} \cdot \vec{B_1C_3} = R(\sqrt{2}-2) \cdot R(\sqrt{2}-1) + 0 = R^2(\sqrt{2}-2)(\sqrt{2}-1) = R^2(2-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2) = R^2(4-3\sqrt{2})$. Модули векторов (длины сторон) мы уже знаем: $|\vec{B_1C_2}| = |\vec{B_1C_3}| = R(2-\sqrt{2})$. Косинус угла $\alpha = \angle C_2B_1C_3$:$\cos\alpha = \frac{\vec{B_1C_2} \cdot \vec{B_1C_3}}{|\vec{B_1C_2}| \cdot |\vec{B_1C_3}|} = \frac{R^2(4-3\sqrt{2})}{(R(2-\sqrt{2}))^2} = \frac{4-3\sqrt{2}}{(2-\sqrt{2})^2} = \frac{4-3\sqrt{2}}{4-4\sqrt{2}+2} = \frac{4-3\sqrt{2}}{6-4\sqrt{2}} = \frac{4-3\sqrt{2}}{2(3-2\sqrt{2})}$. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю $(3+2\sqrt{2})$:$\cos\alpha = \frac{(4-3\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})}{2(3-2\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})} = \frac{12+8\sqrt{2}-9\sqrt{2}-6(\sqrt{2})^2}{2(9-4(2))} = \frac{12-\sqrt{2}-12}{2(9-8)} = \frac{-\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, $\alpha = 135^{\circ}$. Внутренний угол правильного восьмиугольника равен $\frac{(8-2) \cdot 180^{\circ}}{8} = \frac{6 \cdot 180^{\circ}}{8} = 135^{\circ}$. Поскольку все стороны равны и все углы равны, восьмиугольник является правильным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить по формуле, использующей длину его стороны $s$:$S = 2(1+\sqrt{2})s^2$. Из предыдущего пункта мы знаем, что сторона восьмиугольника $s = R(2-\sqrt{2})$. Найдем квадрат стороны:$s^2 = (R(2-\sqrt{2}))^2 = R^2(2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2) = R^2(4 - 4\sqrt{2} + 2) = R^2(6 - 4\sqrt{2})$. Теперь подставим это значение в формулу площади:$S = 2(1+\sqrt{2}) \cdot R^2(6 - 4\sqrt{2}) = 2R^2(1+\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2})$. Раскроем скобки:$(1+\sqrt{2})(6 - 4\sqrt{2}) = 1 \cdot 6 - 1 \cdot 4\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 6 - \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{2} = 6 - 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 4 \cdot 2 = 6 + 2\sqrt{2} - 8 = 2\sqrt{2} - 2 = 2(\sqrt{2}-1)$. Подставляем обратно в выражение для площади:$S = 2R^2 \cdot 2(\sqrt{2}-1) = 4R^2(\sqrt{2}-1)$.

Ответ: $S = 4R^2(\sqrt{2}-1)$.